K(a^{2}) = K(a)

20.06.2013, 18:07

Theend9219

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K(a^{2}) = K(a)

Hallo,
folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ein Körper und sei $\begin{eqnarray*} [\mathbb K(a) : \mathbb K] = 5 \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb K(a^{2}) = \mathbb K(a) \end{eqnarray*}$

Ich weiß leider nicht wie ich vorgehen muss ..
Was muss ich mir denn unter $\begin{eqnarray*} [\mathbb K(a) : \mathbb K] = 5 \end{eqnarray*}$ vorstellen??

LG

20.06.2013, 18:24

Mulder

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RE: K(a^{2}) = K(a)

Zitat:

Original von Theend9219
Was muss ich mir denn unter $\begin{eqnarray*} [\mathbb K(a) : \mathbb K] = 5 \end{eqnarray*}$ vorstellen??

Das ist der Grad der Körpererweiterung.

Nach Definition ist der Grad einer Körperweiterung $\begin{eqnarray*} L:K \end{eqnarray*}$ gleich der Dimension von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ aufgefasst als $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.

Denk mal an den Gradsatz... deine Körpererweiterung hat Primzahlgrad. Kann es da einen "echten" Zwischenkörper geben?

20.06.2013, 18:44

Theend9219

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RE: K(a^{2}) = K(a)
Hey Mulder! Augenzwinkern

Augenzwinkern

))
Danke für deine Antwort :

Zu deiner Frage: Nein, denn als Primzahlkörper bezeichnet man einen Körper K, der keine echten Teilkörper hat, der also selbst sein eigener Primkörper ist.

20.06.2013, 18:47

Mulder

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RE: K(a^{2}) = K(a)
Ich habe von Zwischenkörpern gesprochen, nicht von Primkörpern.

20.06.2013, 20:14

Theend9219

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RE: K(a^{2}) = K(a)
Irgendwie komme ich jetzt nach langer Recherche auch auf keine Antwort =(..
Also ich weis nur das K(a) der einfache Körper ist mit dem einen Element a...

20.06.2013, 21:05

Mulder

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RE: K(a^{2}) = K(a)

Zitat:

Original von Mulder
Denk mal an den Gradsatz...

Wie lautet der denn?

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20.06.2013, 21:16

Theend9219

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RE: K(a^{2}) = K(a)
Huhu,

der Gradsatz besagt:
$\begin{eqnarray*} [M : K] = [M:L] \cdot [L:K] \end{eqnarray*}$
M über K = m über L $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ K über K

lg..

20.06.2013, 21:21

Mulder

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RE: K(a^{2}) = K(a)
Und nun übertrag das mal auf deine Situation. als M nimmst du das K(a) oben aus deiner Aufgabe, für K nimmst du das K aus deiner Aufgabe und für das L nimmst du K(a²) aus deiner Aufgabe.

Denn offensichtlich ist doch K(a²) in K(a) enthalten und K ist andererseits in K(a²) enthalten.

20.06.2013, 21:30

Theend9219

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RE: K(a^{2}) = K(a)
Okay. Danke.

$\begin{eqnarray*} [K(a):K] = [K(a):K(a^{2})] \cdot [K(a^{2}): K] \end{eqnarray*}$

so?

LG

20.06.2013, 21:39

Mulder

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RE: K(a^{2}) = K(a)
Ja gut, du hast jetzt halt 1 zu 1 das eingesetzt, was ich vorgeschlagen habe. Das war jetzt noch nicht sonderlich spektakulär. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Überleg doch nun mal ein bisschen weiter. Für die beiden Faktorene auf der rechten Seite kommen ja nun nur sehr wenig Möglichkeiten in Frage. Welche? Und versuch mal, daraus ein paar Schlussfolgerungen zu ziehen.

20.06.2013, 23:24

Theend9219

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RE: K(a^{2}) = K(a)

Zitat:

Original von Theend9219

$\begin{eqnarray*} [K(a):K] = [K(a):K(a^{2})] \cdot [K(a^{2}): K] \end{eqnarray*}$

Danke. leider tu ich mich sehr schwer bei dem Thema ...

$\begin{eqnarray*} 5 = [K(a):K(a^{2})] \cdot [K(a^{2}): K] \end{eqnarray*}$

LG

20.06.2013, 23:31

Mulder

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RE: K(a^{2}) = K(a)
Bei welchem Thema? Definition von Primzahlen?

$\begin{eqnarray*} 5 = [K(a):K(a^{2})] \cdot [K(a^{2}): K] \end{eqnarray*}$

Das bedeutet doch nun:

Fall 1:

$\begin{eqnarray*} [K(a):K(a^{2})] =1 \quad , \quad [K(a^{2}): K]=5 \end{eqnarray*}$

oder Fall 2:

$\begin{eqnarray*} [K(a):K(a^{2})] =5 \quad , \quad [K(a^{2}): K]=1 \end{eqnarray*}$

Fall 2 ist nun noch auszuschließen. Dann ist man fertig. Denn aus $\begin{eqnarray*} [K(a):K(a^{2})] =1 \end{eqnarray*}$ folgt natürlich $\begin{eqnarray*} K(a^{2})=K(a) \end{eqnarray*}$ und da wollen wir ja hin.

20.06.2013, 23:37

Theend9219

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RE: K(a^{2}) = K(a)
Ja allgemein im Moment Galois, Körpererweiterungen, ... Ich kann mir da immer recht wenig vorstellen .., und ich brauch immer was zum vorstellen..

Falls $\begin{eqnarray*} [K(a):K(a^{2})] = 5 \end{eqnarray*}$ dann dann ist $\begin{eqnarray*} K(a^{2}) \neq K(a) \end{eqnarray*}$
, da $\begin{eqnarray*} 5 \neq 25 \end{eqnarray*}$
aber das ist bestimmt falsch ..

20.06.2013, 23:43

Mulder

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RE: K(a^{2}) = K(a)

Zitat:

Original von Theend9219
Ich kann mir da immer recht wenig vorstellen .., und ich brauch immer was zum vorstellen..

Da stehst du auf ziemlich verlorenem Posten. "Lösen Sie sich von der Vorstellung, sich alles vorstellen zu können" hat bei mir ein Algebra-Prof im ersten Semester mal gesagt. So in der Art.

Zitat:

Original von Theend9219
aber das ist bestimmt falsch ..

Ja, leider.

Wäre $\begin{eqnarray*} [K(a^{2}): K]=1 \end{eqnarray*}$ , würde das bedeuten $\begin{eqnarray*} K(a^{2})= K \end{eqnarray*}$ , insbesondere wäre also $\begin{eqnarray*} a^2 \in K \end{eqnarray*}$ . Dann könnte man aber schon ein Minimalpolynom vom Grad kleinergleich $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ finden und hätte sofort einen Widerspruch zur Voraussetzung. Denn der Grad des Minimalpolynoms entspricht ja dem Grad der Körpererweiterung.

Übrigens: Auch wenn es natürlich nicht für einen allgemeinen Beweis zielführend ist, kannst du dich ja mal an einem konkreten Beispiel versuchen, um zu sehen, dass das tatsächlich funktioniert. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[5]{2}): \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist eine Körpererweiterung vom Grad 5 (leicht via Minimalpolynom einzusehen). Und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[5]{2}) = \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^2) \end{eqnarray*}$ ist ziemlich leicht zu verifizieren...

24.06.2013, 22:53

Theend9219

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RE: K(a^{2}) = K(a)
Hey, Entschuldigung das ich mich nicht mehr gemeldet hatte, aber ich hatte dir ja versprochen ich verschiebe meine Antwort. Und das Thema interessiert mich immer noch sehr.

Ja. Das ging mit den Matrizen am Anfang auch so das ich versuchte mir irgendwas vorzustellen und es jetzt aber mir anders vorstelle und ich hoffe das es mit dem Thema auch klappt und ich ein Gefühl für das bekomme.

Also jetzt zu deinem konkreten Beispiel:

Also das Minimalpolynom zu $\begin{eqnarray*} 2^{\frac{1}{5}} \end{eqnarray*}$ wäre ja: $\begin{eqnarray*} x^{5}-2 \end{eqnarray*}$ Es ist also vom Grad 5. Und das Minimalpolynom zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a^{2}) = x^{5}-4 \end{eqnarray*}$ offenbar also auch vom Grad 5. Und jetzt sehe ich auch das der Grad der Körpererweiterung, dem Grad des Minimalpolynoms entspricht.

Ein Minimalpolynom vom grad $\begin{eqnarray*} \leq 2 \end{eqnarray*}$ von a in K[x] wäre ja dann eigendlich zum Beispiel $\begin{eqnarray*} (2^{\frac{1}{2}})^{2} \end{eqnarray*}$ oder?

Nun weiß ich aber nicht wie ich weitermachen kann ... LG

24.06.2013, 23:13

Mulder

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RE: K(a^{2}) = K(a)
Hmm... verwirrt

verwirrt

Also nur weil die Körpererweiterungen L:K und M:K den gleichen Erweiterungsgrad haben, muss ja noch lange nicht M=L gelten. Vergleiche dazu z.B. die beiden Erweiterungen

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) : \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{3}) : \mathbb Q \end{eqnarray*}$

diese beiden Erweiterungen haben auch beide Grad 2, aber trotzdem ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{3}) \neq \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ .

Das Beispiel, das ich angesprochen hatte, kann man ganz simpel über zwei Mengeninklusionen zeigen (das macht man ja ziemlich oft so, wenn man die Gleichheit zweier Menge zeigen will). Zu zeigen wäre

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[5]{2}) = \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^2) \end{eqnarray*}$

Die Inklusion

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^2) \subseteq \mathbb Q(\sqrt[5]{2}) \end{eqnarray*}$

ist ja offensichtlich (warum?).

Interessant ist die andere Inklusion:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[5]{2}) \subseteq \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^2) \end{eqnarray*}$

Dazu genügt es, zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{2} \in \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^2) \end{eqnarray*}$

Und das ist nicht schwer. Da $\begin{eqnarray*} (\sqrt[5]{2})^2) \in \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^2) \end{eqnarray*}$ , ist auch $\begin{eqnarray*} (\sqrt[5]{2})^2)^3 \in \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^2) \end{eqnarray*}$ (du kannst die Körperelemente ja beliebig potenzieren und bleibst in diesem Körper). Aber es ist auch $\begin{eqnarray*} 2 \in \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^2) \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt[5]{2})^2)^3}{2} = \sqrt[5]{2} \in \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^2) \end{eqnarray*}$ und fertig.

25.06.2013, 10:11

Theend9219

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RE: K(a^{2}) = K(a)

Zitat:

Original von Mulder

Die Inklusion

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^2) \subseteq \mathbb Q(\sqrt[5]{2}) \end{eqnarray*}$

ist ja offensichtlich (warum?).

Vielleicht auch wieder wenn ich zeige, dass
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^{2}) \in \mathbb Q((\sqrt[5]{2})) \end{eqnarray*}$ ist. Und dann auch wieder die Körpererweiterung nutzen, dass sich das Element nicht verändert.

so?

25.06.2013, 10:41

Mulder

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RE: K(a^{2}) = K(a)

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^{2}) \in \mathbb Q(\sqrt[5]{2}) \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ macht an der Stelle keinen Sinn und diesen Satz

Zitat:

Original von Theend9219
Und dann auch wieder die Körpererweiterung nutzen, dass sich das Element nicht verändert.

verstehe ich ehrlich gesagt nicht.

Es ist doch $\begin{eqnarray*} (\sqrt[5]{2})^{2} \end{eqnarray*}$ sicher in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[5]{2}) \end{eqnarray*}$ enthalten und das ist schon völlig ausreichend.

25.06.2013, 10:45

Theend9219

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RE: K(a^{2}) = K(a)

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q((\sqrt[5]{2})^{2}) \in \mathbb Q(\sqrt[5]{2}) \end{eqnarray*}$

Ich meinte : $\begin{eqnarray*} ((\sqrt[5]{2})^{2}) \in \mathbb Q(\sqrt[5]{2}) \end{eqnarray*}$

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