Grenzwert von Folgen - Seite 2

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25.06.2013, 00:26

steveo123

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RE: Grenzwert von Folgen

Würdest du hier mit dem konjugierten Ausdruck arbeiten oder wie würdest du das machen?

25.06.2013, 01:54

Screwhal

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RE: Grenzwert von Folgen
Am besten du leitest dir gleich eine allgemeine Formel für den GW von

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(1+\frac{a}{n} \right) ^n = \lim_{n \to 0} (1+an)^{1/n} \end{eqnarray*}$ her und führst dann ähnliche Sachen darauf zurück. Zu bemerken sei hier dass sich n asymptotisch wie $\begin{eqnarray*} (n+c) \approx n \end{eqnarray*}$ verhält.

Konkret: Man kann so was auf das obige zurückführen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(1+\frac{a}{n+c} \right) ^n \end{eqnarray*}$

Sei nun x=(n+c), dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(1+\frac{a}{n+c} \right) ^n = \lim_{x \to \infty } \left(1+\frac{a}{x} \right) ^{x-c} = \lim_{x \to \infty } \left( \left(1+\frac{a}{x} \right) ^{x} \left(1+\frac{a}{x} \right) ^{-c}\right) \end{eqnarray*}$

Nun gilt wegen den GW-Sätzen (Produkt 2er GW ist gleich GW 2er Produkte wenn die GW existieren)

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{a}{x} \right) ^{-c} \lim_{x \to \infty } \left(1+\frac{a}{x} \right) ^{x} = 1\cdot \lim_{x \to \infty } \left(1+\frac{a}{x} \right) ^{x} \end{eqnarray*}$

Bemerkung:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \left(1+\frac{a}{x} \right) ^{x} \neq \lim_{x \to \infty } \left( \lim_{x \to \infty } \left(1+\frac{a}{x} \right) \right) ^x \end{eqnarray*}$

da wir hier eine Funktionenfolge bla^x haben, die nicht glm. konvergiert und man somit dem Limes nicht vertauschen darf! (Darf man nur bei stetigen Funktionen)

Also um herzuleiten dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(1+\frac{a}{n} \right) ^n=e^{a} \end{eqnarray*}$ ist benutze dass die exp und ln-Funktionen Umkehrungen voneinander auf den positiven Zahlen sind. Nutze auch noch die Log-Sätze und du findest.

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{a}{n}\right) = e^{ln\left(\left(1+\frac{a}{n}\right)^n\right)} =e^{n\cdot\left({ln\left(1+\frac{a}{n}\right)}\right)} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt den GW bilden willst bedenke dass exp() stetig ist und ziehe den Limes rein:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n\cdot ln(1+a/n) =\lim_{n \to \infty } \frac{ln(1+a/n)}{1/n} \end{eqnarray*}$

Nun hast du ''0/0'', benutze l'Hospital und dass an+n^2 asymptotisch zu n^2 ist:
$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty } \frac{-a}{an+n^2}\cdot(-n^2) = \lim_{n \to \infty } \frac{an^2}{n^2} = a \end{eqnarray*}$

Schlussendlich finden wir also als GW $\begin{eqnarray*} e^{a} \end{eqnarray*}$

Bei wäre dann a=1/5 und der GW exp(1/5). Ich wollte dir die Arbeit nicht wegnehmen falls ich hier was vorgelöst habe sondern den Sachverhalt genau erläutern und das Verständnis fördern

25.06.2013, 05:45

Kasen75

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Zitat:

Original von steveo123
Hmm dann stimmt die Lösung scheinbar nicht. Werde da nochmal nachharken.

Danke für deine Hilfe Freude

Freut mich, dass du der Gartenarbeit so zugeneigt bist. Big Laugh

25.06.2013, 07:46

grosserloewe

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also um meinen Beitrag auch zu Ende zu bringen:

Du muß jetzt den Zähler und Nenner getrennt ableiten und erhälst:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^2}{5 *n^2+n} \end{eqnarray*}$

nach Kürzen von

$\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$

erhälst Du

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

und e hoch 1/5 ergbibt dann die Lösung.

25.06.2013, 19:18

steveo123

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Vielen lieben Dank schonmal für die Mühe von euch allen.

Da wir noch nicht L'Hospital hatten, habe ich mir überlegt ob es nicht auch anders geht..

Stimmt der Grenzwert?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty }a^n =1 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$

25.06.2013, 19:22

grosserloewe

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Ja das stimmt.

25.06.2013, 20:00

steveo123

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Dann kann man das doch so machen:

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\left(\frac{5n+1}{5n} \right)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\lim_{n \to \infty } \left(\frac{5n+1}{5n} \right)^n=\lim_{n \to \infty }\frac{n^n(5+\frac{1}{n} )^n}{n^n(5)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\lim_{n \to \infty }=\frac{(1+\frac{\frac{1}{5} }{n})^n }{1^n}=\frac{e^{\frac{^1}{5}} }{1}=e^{\frac{^1}{5}}=5\sqrt{e} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

25.06.2013, 20:06

HAL 9000

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Die letzte Zahl der Gleichungskette buchen wir mal als LaTeX-Fauxpas ab - sicher meinst du stattdessen $\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{e} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

25.06.2013, 20:29

Che Netzer

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Ihr könnt doch l'Hospital nicht auf Grenzwerte von Folgen anwenden geschockt

25.06.2013, 21:01

steveo123

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Danke HAL 9000 Freude

So nun ganz korrekt...

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\left(\frac{5n+1}{5n} \right)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\lim_{n \to \infty } \left(\frac{5n+1}{5n} \right)^n=\lim_{n \to \infty }\frac{n^n(5+\frac{1}{n} )^n}{n^n(5)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\lim_{n \to \infty }=\frac{(1+\frac{\frac{1}{5} }{n})^n }{1^n}=\frac{e^{\frac{^1}{5}} }{1}=e^{\frac{^1}{5}}=\sqrt[5]{e} \end{eqnarray*}$

Stimmt doch jetzt, oder?

25.06.2013, 22:21

steveo123

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Zu den "n" Potenzen habe ich noch eine Frage

Bei der Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{2^n+2^{-n}}{3^n} \end{eqnarray*}$

Kann man im Zähler die zwei Terme addieren?

25.06.2013, 22:58

Screwhal

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Eine Folge kann man durch eine Funktion erweitern das ändert nicht am GW

25.06.2013, 23:22

steveo123

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Sorry das habe ich jetzt nicht verstanden.

Geht das so bei einer Folge?

$\begin{eqnarray*} 2^n+2^{-n}=4 \end{eqnarray*}$

25.06.2013, 23:50

Screwhal

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Alter ich habe "Che Netzer" geantwortet.

Was zur Hölle machst du da überlege dir immer an einem Beispiel ob das überhaupt Sinn ergeben kann. Wenn du

2^2 + 2^(-2) hast dann ist sicher 4+1/4 =/= 4.

25.06.2013, 23:56

steveo123

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Kann ich ja nicht riechen dass deine Antwort an ihn gerichtet war. Da kann man doch "@Che Netzer" schreiben oder seine Aussage als Zitat beantworten...

Weißt du hier einen Ansatz?

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{2^n+2^{-n}}{3^n} \end{eqnarray*}$

25.06.2013, 23:57

Screwhal

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Zu deiner Frage ob man den Bruch im GW aufteilen kann schau dir die GW-Sätze die sind sehr wichtig. (Man darf einen GW einer Summe aufteilen in die Summe von GW gdw die GW der einzelnen Summen existieren). Konkret teil das mal auf und benutze exp() und ln(), wenn nötig erweitere deine Folge zu einer Funktion um de l'Hospital zu verwenden oder führe es auf den GW von exp() zurück

26.06.2013, 00:18

Screwhal

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Also Ansatz habe ich

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2^n}{3^n} + \frac{1}{2^n\cdot 3^n} \end{eqnarray*}$

überlege dir nun wieso du den GW auf die Summe aufteilen kannst (Begründung in meinem vorherigen Post)

Dann finde raus dass sich deine Folge asymptotisch wie

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{2^n}{3^n} \end{eqnarray*}$ verhält und berechne davon den GW.

Hier sieht man dass bn sehr stark nach unten zieht und 0 gibt. Das kann man mit exp() und ln() zeigen ich würde hier aber einen Trick anwenden und zwar die Stetigkeit vom ln() (Man kann den Limes vertauschen).

Überlege dir was mit $\begin{eqnarray*} ln(b_n) \end{eqnarray*}$ passiert und was das für bn bedeutet.

Schaue dir also $\begin{eqnarray*} ln(b_n) = n\cdot ln(\frac{2}{3} ) \end{eqnarray*}$ an und benutze dass ln(x)=y -> (-inf) gdw x -> 0

26.06.2013, 01:04

Screwhal

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Zur Vollständigkeit, so sieht du auch dass $\begin{eqnarray*} \frac{a^n}{b^n} \end{eqnarray*}$ im GW gegen inf genau dass gegen Null geht wenn b>a und gdw gegen inf geht wenn a>b. Wenn a=b erhalten wir direkt 1.

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