Grenzwert von Folgen

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20.06.2013, 19:42	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Folgen Hallo Leute, Bei der Aufgabe soll ich den Grenzwert bestimmen: $\begin{eqnarray} a_{n} =\frac{(3n+3)^{2} }{3-4n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{(3n+3)^2}{3-4n} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{n(3+\frac{3}{n} )^2}{n(\frac{3}{n} -4)} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{(3+\frac{3}{n} )^2}{\frac{3}{n} -4} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{9+\frac{9}{n} }{\frac{3}{n} -4} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\lim_{n \to \infty } (9)+ \lim_{n \to \infty } (\frac{9}{n} )}{\lim_{n \to \infty } (\frac{3}{n} )- \lim_{n \to \infty } (4)} = \frac{9+0}{0-4} =-\frac{9}{4} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig gerechnet?
20.06.2013, 20:01	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, $\begin{eqnarray} (a + b)^2 \ne a^2 + b^2 \end{eqnarray}$ und auch sonst etwas seltsam; beginn doch mit einer Polynomdivision
20.06.2013, 21:31	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich das auch ohne Polynomdivision so lösen? $\begin{eqnarray} (3n+3)^2 \Rightarrow (3n+3)(3n+3)\Rightarrow n(9+\frac{9}{n}) \end{eqnarray}$
20.06.2013, 21:36	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sollen die Implikationspfeile bedeuten? Gleichheit? Dann wäre das falsch, es ist $\begin{eqnarray} (3n+3)^2=9n^2+18n+9 \end{eqnarray}$ (binomische Formel)
20.06.2013, 21:55	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, ok Wie würdest du jetzt das "n" wegkürzen? $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{9n^2+18n+9}{3-4n} \right) \end{eqnarray}$
20.06.2013, 22:01	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gehabt die höchste Potenz ausklammern und schauen, was passiert.
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20.06.2013, 22:11	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
So? $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{n^2(9+\frac{18}{n}+\frac{9}{n^2}) }{n^2(\frac{3}{n^2}-\frac{4}{n}) } \right) \end{eqnarray}$
20.06.2013, 22:12	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
20.06.2013, 22:20	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{9+\frac{18}{n}+\frac{9}{n^2}) }{\frac{3}{n^2}-\frac{4}{n} } \right) \end{eqnarray}$ und jetzt? Sorry stehe iwie auf dem Schlauch........
20.06.2013, 22:29	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Zähler geht gegen eine feste Zahl ungleich Null (nämlich 9), während der Nenner gegen Null geht. Also geht der gesamte Bruch gegen...?
20.06.2013, 22:38	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
Null...????
20.06.2013, 22:40	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man 9 durch betragsmäßig kleiner werdende Zahlen dividiert, wird das Ergebnis dann betragsmäßig groß oder klein?
20.06.2013, 22:43	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
groß?!
20.06.2013, 22:47	Screwhal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ai denk noch mal drüber nach. Wieso machst du es dir so schwer benutz doch einfach $\begin{eqnarray} a_n \approx \frac{(3n)^2}{-4n} = \frac{9n^2}{-4n} = \frac{9n}{-4} \end{eqnarray}$ für n gross. Also verhält sich a_n genau wie $\begin{eqnarray} \frac{-9}{4} \cdot n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n -> \infty \end{eqnarray}$ . Aber da du schon fertig bist, schau dir lieber noch mal an was passiert wenn etwas unter dem Bruch gegen Null geht.
21.06.2013, 14:11	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon mal euch vielen Dank fürs Mitdenken! In der Lösung steht $\begin{eqnarray} -\frac{9}{4} \end{eqnarray}$ als Ergebnis. Könnt ihr den Vorgang bitte nochmal für "Dumme" erklären?
21.06.2013, 14:43	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist die Lösung falsch oder du hast die Aufgabenstellung falsch wiedergegeben. Die Folge, die im ersten Beitrag dieses Themas steht, geht für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ . Das ersieht man zunächst einmal daraus, dass wie gesagt der Bruch betragsmäßig beliebig groß werden muss, weil man 9 durch betragsmäßig kleiner werdende Zahlen teilt. Zum negativen Vorzeichen führt die Tatsache, dass der Zähler immer größer, der Nenner dagegen immer kleiner als 0 ist. Dies ist natürlich kein strenger Beweis; man könnte das ganze auch exakt via Epsilontik beweisen, aber das ist vielleicht nicht unbedingt nötig...
21.06.2013, 14:55	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm dann stimmt die Lösung scheinbar nicht. Werde da nochmal nachharken. Danke für deine Hilfe
21.06.2013, 15:00	Screwhal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke das was ich gemacht habe sollt eigentlich ziemlich klar sein. Wenn die Angabe wirklich $\begin{eqnarray} a_n = \frac{(3n+3)^2}{3-4n} \end{eqnarray}$ ist, ist der GW für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ -Unendlich und sicher nicht $\begin{eqnarray} \frac{-9}{4} \end{eqnarray}$ Bei Polynomen kann man sagen dass ein Polynom vom Grad k, also $\begin{eqnarray} p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_kx^k \end{eqnarray}$ sich asymptotisch wie $\begin{eqnarray} a_kx^k \end{eqnarray}$ verhält. D.h. konkret $\begin{eqnarray} \frac{p(x)}{a_kx^k} = 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ (Analog verhält sich das Polynom asymptotisch wie sein kleinster Grad wenn x gegen Null geht) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{p(x)}{a_kx^k} = \lim_{x \to \infty } \frac{a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_kx^k}{a_kx^k} = \lim_{x \to \infty } \frac{x^k}{a_kx^k} \cdot {a_0/x^k+a_1/x^{k-1}+...+a_k} = \frac{1}{a_k} \lim_{x \to \infty } \cdot {a_0/x^k+a_1/x^{k-1}+...+a_k} \end{eqnarray}$ . Da hier alles stetig ist kann man den GW auf die einzelnen Glieder anwenden und er existiert auch. (Grenzwertsätze). Nun geht alles gegen Null wo wir durch x teilen übrig bleibt also: $\begin{eqnarray} \frac{a_k}{a_k}=1 \end{eqnarray*}$ Wenn du dir das bewusst machst musst du das nicht jedes mal durchführen sondern kannst sagen dass sich das Polynom asymptotisch, für x sehr gross, wie das und das verhält und berechnest davon den GW. Konkret: Für x gegen +- Unendlich schaust du dir nur die größten Potenzen an Analog kannst du für den GW gegen Null nur die kleinsten Potenzen anschauen. Hoffe das hilft dir weiter.
21.06.2013, 15:12	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen Wie wär's damit: $\begin{eqnarray} a_n =\frac{(3n+3)^2}{3-4n}=n\cdot \frac{\left(3+\frac 3n\right)^2}{\frac 3n-4}<-2n \end{eqnarray}$
24.06.2013, 18:33	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen So, habe nochmal nachgefragt... Sollte $\begin{eqnarray} a_{n} =\frac{(3n+3)^2}{3-4n\color{red}^2} \end{eqnarray}$ sein... $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{(3n+3)^2}{3-4n^2}= \lim_{n \to \infty }\frac{n^2(9+\frac{18}{n}+\frac{9}{n^2}) }{n^2(\frac{3}{n^2}-4) } =-\frac{9}{4} \end{eqnarray}$ Danke für die Hilfe!
24.06.2013, 21:36	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen Ich habe noch eine Frage zu einer Aufgabe mit dem Grenzwert einer Folge: $\begin{eqnarray} a_{n} = \left(\frac{5n+1}{5n} \right) ^n \end{eqnarray}$ Die Lösung soll $\begin{eqnarray} \sqrt[5]{e} \end{eqnarray}$ sein. verstehe aber nicht wie man darauf kommt...
24.06.2013, 21:56	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen für n--->unendlich? dann teile zuerst den Zähler und Nenner durch 5n und gehe dann zur e-Funktion über. Wende dann L' Hospital an und du erhälst das Ergebnis.
24.06.2013, 22:17	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen Ja $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \end{eqnarray}$ Ähm so? $\begin{eqnarray} \left(\frac{1+\frac{1}{5n} }{1} \right)^n \end{eqnarray}$ Sieht iwie komisch aus...
24.06.2013, 22:22	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen ja .die 1 kann doch weg im Nenner.
24.06.2013, 22:30	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen Im Zähler nicht auch?
24.06.2013, 22:36	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen nein Was ich meinte: $\begin{eqnarray} \frac{5n +1}{5n} =\frac{5n (1+\frac{1}{5n} )}{5n} \end{eqnarray}$ Nun kann 5n gekürzt werden. Es steht dann: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{5n}) ^{n} \end{eqnarray}$
24.06.2013, 22:41	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen ah ok, sorry Laut $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \left(1+\frac{a}{n} \right)^n = e^{a} \end{eqnarray}$ Das kann ja nicht sein. $\begin{eqnarray} 5e^1 \end{eqnarray}$ Wie würdest du das mit L' Hospital machen?
24.06.2013, 22:55	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen nein ich meine es anders jetzt muß zur e -Funktion übergegangen werden. das heißt, es entsteht folgender Ausdruck: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } e^{ln(1+\frac{1}{5n})^n } \end{eqnarray}$ Jetzt wendet man Logarithmengesetze an. Hast Du eine Idee?
24.06.2013, 23:01	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen Leider nicht....
24.06.2013, 23:08	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen Es gilt allgemein: $\begin{eqnarray} ln (a^{b}) =b ln (a) \end{eqnarray*}$
24.06.2013, 23:14	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen so? $\begin{eqnarray} n+ln(1+\frac{1}{5n}) \end{eqnarray}$
24.06.2013, 23:24	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen nein Es entsteht dann: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } e^{n ln(1+\frac{1}{5n}) } \end{eqnarray*}$
24.06.2013, 23:26	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen Ja, sorry meinte ich auch so. Wie gehts jetzt weiter?
24.06.2013, 23:34	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen das wiederum kannst Du so schreiben: $\begin{eqnarray} e^{\lim_{n \to \infty } n ln(1+\frac{1}{5n} ) } \end{eqnarray*}$ und betrachtest jetzt den Limes extra.(ohne das e) zunächst.
24.06.2013, 23:48	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen Vieleicht ist es schon zu spät das ich das raffe. Wie würdest du das machen? Ich will nicht das du mir alles vorgeben musst aber ich komm nicht drauf....
24.06.2013, 23:52	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen Schreibe als nächstes den Limesausdruck als Quotient, dann kannst Du L' Hospital anwenden. Was erhälst Du dann?
25.06.2013, 00:00	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen Wie soll ich den denn als Quotient schreiben?
25.06.2013, 00:03	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen Schreibe mal bitte den ln Ausdruck in den Zähler und dann 1/n in den Nenner. (als Quotient)
25.06.2013, 00:12	steveo123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen $\begin{eqnarray} \frac{ln(1+\frac{1}{5n}) }{\frac{1}{n} } \end{eqnarray}$
25.06.2013, 00:20	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Folgen genau jetzt kannst Du L' Hospital anwenden

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