Charakteristisches Polynom einer Drehmatrix

20.06.2013, 21:16	Pear	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom einer Drehmatrix Meine Frage: Hallo, wie ist es möglich, dass allgemeine charakteristische Polynom einer Drehmatrix zu bestimmen? Ich habe folgende Angaben: Sei $\begin{eqnarray} A \in O(n) \end{eqnarray}$ mit charakteristischem Polynom $\begin{eqnarray} CP_A(X) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Die Matrix A beschreibt genau dann eine Drehung im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , wenn gilt: $\begin{eqnarray} CP_A(X) = X^3 - aX^2 +aX -1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \in [-1,3] \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe leider nur wenige Ideen, deshalb bräuchte ich dringend einen kleinen Tipp. Würde es vielleicht bei der Aufgabe helfen, wenn ich mal eine allgemeine 3X3-Drehmatrix nehme und versuche, da das CP(X) zu berechnen?
21.06.2013, 00:24	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition: A Drehmatrix <=> A orthogonal und det A =1. Ist Dir dieser Satz bekannt? Für $\begin{eqnarray} A \in Mat_k(n,n) \mbox{ mit charakt. Polynom }p(x)=a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0\mbox{ gilt: }a_n=(-1)^n, a_{n-1} = (-1)^{-1}\cdot Spur(A), a_0 =det A. \end{eqnarray}$ Außerdem sind alle orthogonalen Matrizen über C diagonalisierbar und \|EW\|=1. Kannst Du daraus einen Ansatz basteln?
23.06.2013, 20:06	Pear	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Definition der Drehmatrix kenne ich so nur inoffiziell. Die Sache mit dem charakteristischen Polynom, also gerade, was für die $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ gilt, kenne ich allerdings nicht. A ist ja bereits nach Voraussetzung orthogonal. Um die Rückrichtung "<=" zu zeigen, muss ich ja dann anhand des CPs beweisen, dass die Determinante 1 ist, oder? Das Problem ist, dass ich ja nur die Eigenwerte des CPs bestimmen kann und da bekomme ich seltsame Werte heraus: $\begin{eqnarray} CP_A(X) = X^3 - aX^2 +aX -1 = 0 \Leftrightarrow X(X^2 - aX +a) - 1 =0<br /> \Leftrightarrow X(X^2 - aX +a) = 1 \Leftrightarrow X=1 \wedge (X^2 - aX +a) = 1 \Leftrightarrow X=1 \wedge (X=1 \vee X=a-1) \end{eqnarray}$ Das X=1 wäre natürlich günstig, aber darf ich dann überhaupt auf Det(A)=1 schließen? Und das x=a-1 stört halt ziemlich... Was mache ich damit? Für die Hinrichtung "=>" hab ich leider noch keine Idee. Deshalb wäre ich für weitere Tipps sehr dankbar.

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