Verschoben! Variationsrechnung / Integral minimieren

21.06.2013, 00:58

Fix

Variationsrechnung / Integral minimieren

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich soll bis morgen eigentlich so einen Kurztest lösen, bei dem es um Variationsrechnung, Findung einer Funktion zur Minimierung eines Integrals und Nebenbedingungen geht.

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Meine Ideen:
Leider bin ich nicht weit gekommen. Ich habe lediglich folgende Stichworte, die möglicherweise weiterhelfen könnten:
Isoperimetrisches Problem, Greensche Formel, Lagrange, Euler-Gleichungen

Danke!

21.06.2013, 11:04

Ehos

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Die Euler-Lagrangesche Gleichung lautet allgemein

$\begin{eqnarray*} (\tfrac{dL}{dy'})'=\tfrac{dL}{dy} \end{eqnarray*}$

Darin bedeutet der Strich wie üblich die Ableitung nach x. Einsetzen deiner Lagrangefunktion $\begin{eqnarray*} L=y'²y² \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} (\tfrac{d(y'²y²)}{dy'})'=\tfrac{d(y'²y²)}{dy} \end{eqnarray*}$

Ausführen der Ableitungen nach y und y' ergibt zunächst (2y'y²)'=2y'²y. Führt man auf der linken Seite die Ableitung (...)' aus, erhält man nach Division durch 2y und Zusammenfassen (y'y)'=0 oder (y²)''=0. Also ist y² eine lineare Funktion $\begin{eqnarray*} y²=ax+b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{ax+b} \end{eqnarray*}$ . Bestimme nun die Konstanten a,b so, dass die Nebenbedingung erfüllt ist

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 y²\,\,dx=\int_0^1 ax+b\,\,dx=\tfrac{1}{3} \end{eqnarray*}$
-------------------
Nachtrag:
Ich sehe gerade, dass ich bei meiner Rechnung nicht alle Nebenbedingungen berücksichtigt habe. Die Sache wird dann noch etwas komplizierter.

29.06.2013, 16:53

Fix

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Hallo

Danke für deinen Beitragè Habe diesen erst jetzt gesehen, da ich aus unerfindlichen Gründen die Email-Benachrichtigung nicht erhalten habe.
A habe ich mittlerweile gelöst, B komme ich nicht weiter.

Deine Lösung mit ax+b verstehe ich nicht, da da ja Lösungsansatz C*x^alpha steht.

mfg

[attach]30793[/attach]

[attach]30794[/attach]

15.07.2013, 12:29

Fix

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Hat wirklich niemand eine Idee?
Ich bin fast ganz fertig, ich müsste nur noch die Koeffizienten C und Alpha bestimmen.

Der Dozent hat folgendes geschrieben, was ich jedoch nicht ganz verstehe:

Zitat:

Sie haben ein Polynom, welches identisch verschwinden soll. Es gibt nur eine Möglichkeit: alle Koeffizienten müssen 0 sein. Da- raus bekommen Sie zwei Bedingungen für die Koeffizienten. Wenn Sie die aber auswerten, werden sie merken, dass das gar nicht geht. Das kommt aber daher, dass Sie angenommen haben, dass sie tatsächlich zwei unabhängige Koeffizienten hatten. Wären die Ex- ponenten gleich, dann hätten Sie nur noch einen Koeffizienten, der dann 0 sein müsste. Unter dieser letzten Annahme können Sie alpha berechnen, und dann auch C...

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