Darstellungsmatrix einer Bilinearform

21.06.2013, 13:38

marocaine

Darstellungsmatrix einer Bilinearform

Hallo Matheboard-Gemeinde,

ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} Sei \quad V=Mat_{22}(\Re). a)\; Zeige, dass \; die \; Abbildung s: V \times V \rightarrow \Re, s(A,B) = spur(AB) \; eine \; Bilinearform \; auf \; V definiert. b)\; Bestimme \; die \; darstellende \; Matrix \; M_{B}(s) \; bezueglich \; der \; Basis \; B= (E_{11}, E_{12},E_{21},E_{22}) \; von \; V. \end{eqnarray*}$

a) ist kein Problem. Bei b) bin ich mir nicht sicher. Die Überlappmatrix ist doch eigentlich durch

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s(b_1,b_1) & \dots & s(b_1,b_n) \\ \vdots & & \vdots \\ s(b_n,b_1) & \dots & s(b_n, b_n) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gegeben.

Folglich ergibt sich bei vier Basiselementen eine 4x4 Matrix. In diesem Fall ist das konkret die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Seien nun

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix}e & f \\g & h\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
.

Als Linearkombination der Basiselemente dargestellt wären diese dann durch die Vektoren (a,b,c,d) bzw. (e,f,g,h) repräsentiert. Dann folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} (a,b,c,d)^T \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e \\ f \\ g \\ h \end{pmatrix}= ae + cf + bg+ dh. \end{eqnarray*}$

Habe ich also die richtige Darstellungsmatrix gefunden?

Danke und beste Grüße,
maro

21.06.2013, 23:20

Algebraverrückter

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Zitat:

a) ist kein Problem. Bei b) bin ich mir nicht sicher. Die Überlappmatrix ist doch eigentlich durch

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s(b_1,b_1) & \dots & s(b_1,b_n) \\ \vdots & & \vdots \\ s(b_n,b_1) & \dots & s(b_n, b_n) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gegeben.

Folglich ergibt sich bei vier Basiselementen eine 4x4 Matrix. In diesem Fall ist das konkret die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Matrix ist richtig und damit bist du mit der Aufgabe schon fertig Augenzwinkern

Zitat:

Als Linearkombination der Basiselemente dargestellt wären diese dann durch die Vektoren (a,b,c,d) bzw. (e,f,g,h) repräsentiert. Dann folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} (a,b,c,d)^T \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e \\ f \\ g \\ h \end{pmatrix}= ae + cf + bg+ dh. \end{eqnarray*}$

Was du hier berechnest, ist s(A,B). Richtig, aber lt. deiner Aufgabenstellung nicht verlangt.

Viele Grüße

23.06.2013, 16:58

marocaine

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Danke sehr für die Bestätigung!

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