Bilden die Monome eine Basis?

21.06.2013, 15:32

Lebasis

Bilden die Monome eine Basis?

Zeigen Sie, dass die Monome x^1+x^2+...x^n eine basis bilden
zu zeigen ist also dass
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \lambda_2 x + ...+ \lambda_nx^n = 0 \end{eqnarray*}$
die lambdas alle gleich null sein müssen
idee:
$\begin{eqnarray*} p(x) = \sum_{k=0}^n \lambda_kx^k=0 \end{eqnarray*}$
wenn ich das p(x) n mal ableite
$\begin{eqnarray*} p(x)^{n} = n! \lambda_n=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_n=0 \end{eqnarray*}$

und so arbeitet man sich für schritt für schritt die anderen lambdas

21.06.2013, 18:15

Elvis

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Über Körpern der Charakteristik p<=n geht das aber so nicht, weil dort n!=0 gilt. Willst du zeigen, dass die Monome 1,x,x²,...,x^n eine Basis der Vektorraums der polynome höchstens n-ten Grades über einem Körper bilden, oder was ? Bitte Polynome nicht mit Polynomfunktionen verwechseln.

21.06.2013, 18:50

Lebasis

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Zitat:

Original von Elvis
. Willst du zeigen, dass die Monome 1,x,x²,...,x^n eine Basis der Vektorraums der polynome höchstens n-ten Grades über einem Körper bilden, oder was ? .

ja
stimmt es dann?

23.06.2013, 11:01

Elvis

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Ja, es stimmt, aber dein Beweis stimmt nicht.

23.06.2013, 11:14

tmo

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Wir sollten vielleicht erstmal klären, welchen Standpunkt wir hier annehmen.

Betrachten wir die Polynomfunktionen als Teilraum aller reeller Funktionen? (Z.b. im ersten Semester macht man sowas bestimmt mal, weil man den Polynomring noch nicht formal definieren kann/will)

Oder betrachten wir den Polynomring $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ über irgendeinem Körper?

Bei ersterem ist ja tatsächlich die lineare Unabhängigkeit zu zeigen (Und deine Idee genau richtig). Bei letzterem ist sie quasi automatisch per Definition eingebaut.

23.06.2013, 20:35

Lebasis

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Zitat:

Original von Elvis
Ja, es stimmt, aber dein Beweis stimmt nicht.

wenn der beweis nicht stimmt, kannste mir dann sagen wo der fehler liegt

@tmo
so lautet die aufgaben stellung
zeigen sie dass die Monome 1,x,x²,...,x^n eine Basis der Vektorraums der polynome höchstens n-ten Grades über einem Körper bilden

24.06.2013, 17:49

Elvis

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Wo dein Beweis falsch ist, habe ich dir schon gesagt. Du schließt $\begin{eqnarray*} n!\lambda_n=0 \Rightarrow \lambda _n=0 \end{eqnarray*}$ , es kann aber auch gelegentlich $\begin{eqnarray*} n!=0 \end{eqnarray*}$ sein.
Das Problem ist wirklich, zu wissen, über welchen Körper K man spricht.
Das Problem ist eventuell auch, die Definition des Polynomrings K[x] zu kennen.
Also: Was ist ein Polynom ???

24.06.2013, 22:13

Lebasis

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vllt hätte ich erwähnen sollen dass kein mathestudent sondern vwl studiere
ich mach gegentlich einige matheaugaben zumspaß Big Laugh

erwartet nicht zuviel mathe wissen von mir traurig

nie was von Polynomring gehört

zur aufgabe
wir sind im R-vektorraum

25.06.2013, 18:28

Elvis

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Na gut, dann erleuchte ich dich mal eben. $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ über einem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Polynome $\begin{eqnarray*} (a_0,...,a_m)=\sum_{i=0}^ma_iX^i,a_j\in K,m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Weil man Polynome addieren (punktweise) und multiplizieren (siehe Cauchy) kann, und alle notwendigen Regeln gelten (das darfst du gerne im Einzelnen überprüfen), ist $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ ein Ring, und heißt deshalb Polynomring. Einschränkung der Multiplikation $\begin{eqnarray*} pq (p,q \in K[X]) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} aq (a\in K\subset K[X],q\in K[X]) \end{eqnarray*}$ macht $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ zu einem $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum (VR-Axiome darfst du gerne im Einzelnen überprüfen). Eine VR-Basis sind die Monome $\begin{eqnarray*} 1,X,X²,... \end{eqnarray*}$ , weil jedes Polynom $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^ma_iX^i \end{eqnarray*}$ offenbar eine Darstellung als Linearkombination der Monome hat und die Monome linear unabhängig über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ sind. Nun ist deine Aufgabe ganz trivial, denn auch Polynome höchstens n-ten Grades sind Elemente dieses Vektorraums, und durch Addition und skalare Multiplikation bleibt der Grad höchstens n. Dass die Monome bis zum Grad n eine Basis dieses Untervektorraumes bilden, siehst nun auch du.

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