Bereich parametrisieren

21.06.2013, 20:55

Hanz

Bereich parametrisieren

Hallo, folgende Aufgabe:

Verifizieren Sie den Satz von Stokes für das Vektorfeld F=(2x, y^2-z, xz) und den Rand des Rechtecks (0,-2,0) (2,-2,0) (2,0,1) und (0,0,1).

Bei Stokes muss ich ja einmal ein Kurvenintegral nachrechnen und einmal ein Oberflächenintegral.

Meine Frage bezieht sich auf Zweiteres: Die Rotation habe ich schon berechnet, fehlt noch das Flächenelement. Dazu muss ich den Bereich aber in Parameterdarstellung angeben. Mein Problem hier ist, ich habe ja ein Rechteck im Raum gegeben und keinen Schimmer, wie diese Fläche parametrisiert wird.

Ich muss es ja irgendwie von 2 Variablen abhängig machen, nach denen ich dann integrieren kann, aber wie...? traurig

22.06.2013, 11:54

zyko

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RE: Bereich parametrisieren
Da die Fläche/Rechteck an keiner Stelle senkrecht zur x-y-Ebene steht, kannst du x und y als die beiden gesuchten Parameter/Variablen wählen und z=f(x,y) so bestimmen, dass die richtigen Koordinaten des Rechtecks herauskommen.
Mein Vorschlag:
$\begin{eqnarray*} z=0.5y+1 \end{eqnarray*}$
Bitte überprüfen.
Damit ist deine Fläche nur noch von x und y abhängig, obwohl sie im 3D-Raum liegt.

22.06.2013, 13:09

Hanz

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Hi, danke erstmal für die Antwort.

Deine Gerade für z stimmt so. Mein Problem ist aber trotzdem noch wie ich weiter verfahren muss...
Bisher waren alle Parametrisierungen, die wir benutzen mussten sone Standardsachen aus dem Skript. Meine Parametrisierung muss ja von 2 Variablen abhängig sein und drei Komponenten besitzen. Den Rand schaffe ich zu parametrisieren, aber wie gesagt nicht den gesamten Rechteckbereich. Wäre für weitere Hilfe dankbar. ..

23.06.2013, 12:59

zyko

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Wähle x und y so, dass sie innerhalb des Rechtecks liegen.
$\begin{eqnarray*} x \in[0, 2] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \in [-2, 0] \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} z=0.5y+1 \end{eqnarray*}$
damit hast du die Parametrierung für das Rechteck einschließlich dessen Inneren.
Du kannst natürlich auch normierte Parameter $\begin{eqnarray*} s \in [0, 1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \in [0, 1] \end{eqnarray*}$ einführen, mit
$\begin{eqnarray*} x=s\cdot 2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} y=(t-1) \cdot 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=t \end{eqnarray*}$

26.06.2013, 18:04

Hanz

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Zitat:

Original von zyko
Wähle x und y so, dass sie innerhalb des Rechtecks liegen.
$\begin{eqnarray*} x \in[0, 2] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \in [-2, 0] \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} z=0.5y+1 \end{eqnarray*}$
damit hast du die Parametrierung für das Rechteck einschließlich dessen Inneren.
Du kannst natürlich auch normierte Parameter $\begin{eqnarray*} s \in [0, 1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \in [0, 1] \end{eqnarray*}$ einführen, mit
$\begin{eqnarray*} x=s\cdot 2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} y=(t-1) \cdot 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=t \end{eqnarray*}$

Wäre so eine Parametrisierung auch möglich?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+t_1\cdot \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+t_2\cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ also quasi eine ebene aufstellen und t_1 aus [-1,1] und t_2 aus [0,1] wählen?

26.06.2013, 20:17

zyko

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Zitat:

Wenn du damit
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+t_1\cdot \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+t_2\cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
meinst, ja.

26.06.2013, 20:43

Hanz

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Nur um noch mal sicher zu gehen: Um das Oberflächenintegral bei Stokes zu berechnen sind ja nun t_1 und t_2 meine beiden Variablen, nach denen ich integrieren muss und die Integralgrenzen sind [-1;1] und [0,1]. Also muss ich noch das Flächenelement berechnen und den Rotationsvektor vom Vektorfeld berechnen.

Stimmt das so?

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