[Wahrscheinlichkeit] Augenzahlsumme

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lim_lisa Auf diesen Beitrag antworten »
[Wahrscheinlichkeit] Augenzahlsumme
Meine Frage:
Hallo! Ich bräuchte mal ein bisschen Hilfe!

Es wird 3 mal gewürfelt (6seitig) . Was ist wahrscheinlicher?:
a.) Die Augenzahlsumme ergibt 9
b.) Die Augenzahlsume ergibt 10

Meine Ideen:
Also die Reihenfolge ist ja egal und es gibt deshalb 6^3 = 216 Möglichkeiten. Zu bestimmen sind ja alle Fälle um auf eien Augenzahlsumme von 9 bzw 10 zu kommen. Mein n-Tupel muss also wie folgt aussehn:

a.)
(a,b,c)|a+b+c=9, a,b,c aus {1,2,3,4,5,6}. Das wäre zb. 1+3+6.

Nun fehlt mir die Idee diese Tupel vernünftig abzuzählen. Kann mir jemand helfen?
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Abzählerei verschaffst Du Dir unnötig Arbeit.
Besser: Berechne den Erwartungswert der Augensumme aus drei Würfen.
Danach kannst Du schauen, ob a) oder b) näher an diesem Wert liegt.

Nebenbei: 1+3+6=10 Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne sorgfältige begleitende Betrachtungen ist das aber eine gefährlich ungenaue Argumentationsweise: Schließlich sind nicht alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen unimodal auf den Erwartungswert ausgerichtet...
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Du hast recht. Ich hätte noch auf die vorliegende Symmetrie beim Augensummenwürfeln hinweisen sollen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Abzählerei ist nicht so schlimm. S=9:

126
135
144
------
225
234
-----
333

als monoton steigende Ziffern. Jetzt nur noch den Tripeln die richtige Wkt zuordnen.

a.) 3 verschiedene Ziffern
b.) 2 verschiedene Ziffern
c.) 1 verschiedene Ziffern.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

So wie ich das sehe, muss hier zur Beantwortung der eingangs gestellten Frage gar nichts abgezählt werden... Wenn man wissen will, wieviele Möglichkeiten es gibt, die Augensumme k bei 3-maligen Würfeln zu erhalten, muss man sich offensichtlich nur den Koeffizienten von in



ansehen.... Diese Polynompotenz "erbt" aber von seinem Basispolynom



die Eigenschaften, dass es selbstreziprok ist und die Koeffizienten bis zur "Mitte" monoton ansteigen und danach monoton fallen... Damit sollte dann auch die Frage, um die es hier geht, nämlich ob oder den größeren Koeffizienten hat, auch leicht beantwortbar sein, und zwar ganz ohne "Abzählerei" ... Augenzwinkern
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

na endlich! du hast das schon mehrmals sinngemäss gepostet, konnte es aber nicht wiederfinden.
Jetzt kommt das aber endgültig zu den memorablen Links smile

Gut, mein TR berechnet das, aber wie verhält sich der Aufwand bei Handrechnung?

oder kann die Arbeit wegen S=9 (10) deutlich eingeschränkt werden ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von opi
Ich hätte noch auf die vorliegende Symmetrie beim Augensummenwürfeln hinweisen sollen.

Auch Symmetrie allein reicht nicht: Es könnte ja eine symmetrische Bimodalverteilung sein (sozusagen mit zwei gleichgroßen "Höckern" symmetrisch um ein "Tal" an der Erwartungswertstelle).
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
oder kann die Arbeit wegen S=9 (10) deutlich eingeschränkt werden ?

Hm, weiß jetzt nicht genau, was du von mir erwartest... Die explizite Berechnung der Koeffizienten von ? Wenn ja, hier ist sie:



Nun ergibt sich nach leichter Rechnung



und durch Einsetzen erhält man für obigen Ausdruck weiter



Bis einschließlich k=8 ist daher die Berechnung der Koeffizienten von sehr einfach, da man dafür für die erste Summe nur den allerersten Summanden 1 benötigt, womit sich dann der gesuchte Koeffizient zu



ergibt... Die Koeffizienten von und sind am schwierigsten zu berechnen, denn für alle anderen kann man dann bereits ausnutzen, dass das Polynom selbstreziprok, also symmetrisch bez. seiner "Mitte" ist... Es ergibt sich so



also dann 25 und 27 für k=9 bzw. k=10...

Hier noch die "brute force"- Überprüfung der Rechnung mit Maple, da bekanntlich Vertrauen gut, Kontrolle aber besser ist... Augenzwinkern

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
expand((x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^3);
 3      4      5       6       7       8       9       10
x  + 3 x  + 6 x  + 10 x  + 15 x  + 21 x  + 25 x  + 27 x  

         11       12       13       14       15      16      17
   + 27 x   + 25 x   + 21 x   + 15 x   + 10 x   + 6 x   + 3 x  

      18
   + x  
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Es ergibt sich so



also dann 25 und 27 für k=9 bzw. k=10...

Schön, wenn die mir eher über den Siebformelweg plausible Anzahlformel

für

für Augensumme beim -maligen Würfeln mit dem -seitigen Würfel auch auf anderem Weg herauskommt. Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe auch extra in meiner obigen Herleitung einige Binomialkoeffizienten unausgerechnet stehen gelassen, damit eine Verallgemeinerung in Richtung deiner Formel leicht möglich ist... Augenzwinkern
lim_lisa Auf diesen Beitrag antworten »

Danke an alle für eure Bemühungen. Aber ich glaube, dass ich mit reinen Schulkenntnissen die Aufgabe wohl nur durch "Abzählen" lösen kann. Oder gibt es noch eine "einfache" andere Lösung?

@ Dopap:

Habs so gemacht, wie du es vorgeschlagen hast und bekomm das richtige raus.

Danke!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lim_lisa
Danke an alle für eure Bemühungen. Aber ich glaube, dass ich mit reinen Schulkenntnissen die Aufgabe wohl nur durch "Abzählen" lösen kann. Oder gibt es noch eine "einfache" andere Lösung?

Ja, es gibt da schon noch eine Möglichkeit, aber ich weiß nicht, ob sie so viel einfacher ist, aber wir können es ja mal versuchen...

Es geht dabei um die Anzahl der Möglichkeiten aus einer 3-elemenigen Menge M={1,2,3} alle 6-elementigen Multiteilmengen zu bilden, wobei also im Gegensatz zu "normalen" Teilmengen darin Elemente auch mehrfach vorkommen dürfen... Jede solche 6-elementige Multiteilmenge T kann man dann auch charakterisieren durch ein Tripel , wobei angibt, wie oft i in T vorkommt. Insbesondere ist daher

,

ihre Summe muss 6 ergeben, da wir ja insgesamt 6 Elemente auswählen.

Diese Bedingungen sind für uns hochinteressant, denn wenn wir zu neuen Zahlen



übergehen, so heißt das, dass für sie dann



gilt und ihre Summe jeweils 9 ergibt. Das ist aber (fast) genau die Situation die vorliegt, wenn wir fragen, auf wieviele Arten wir mit 3 Würfel die Augensumme 9 werfen können. Einzige Abweichung: Wir können mit einem Würfel keine 7 werfen, d.h., die Möglichkeiten müssen wir zum Schluß noch entfernen.

Hier ein Beispiel:

Wir wählen als 6-elementige Multiteilmenge T={1,1,1,1,3,3}. Das Tripel der Vielfachheiten ist dann (4,0,2), das Tripel der um 1 vergrößerten Vielfachheiten dann (5,1,3) und das entspricht exakt dem Fall, wo der 1.Würfel 5, der 2.Würfel 1 und der dritte Würfel 3 als Augenzahl zeigt, in Summe also dann 9.

Um also die Anzahl der Möglichkeiten zu zählen, mit 3 Würfeln die Augensumme 9 zu werfen, müssen wir einfach die Anzahl der Möglichkeiten zählen, aus der Menge {1,2,3} Multiteilmengen mit 6 Elementen zu bilden. Das ist aber in der Kombinatorik bekannt unter dem Titel "Kombination mit Wiederholung" und die Formel dafür liefert hier



für die Anzahl dieser Möglichkeiten. Davon müssen wir aber die 3 Möglichkeiten {1,1,1,1,1,1},{2,2,2,2,2,2},{3,3,3,3,3,3} abziehen, da diese zu ungültigen Wurffolgen führen würden, wo auch eine 7 dann vorkommt... Insgesamt kommt so also auch wieder auf 25... Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Ja, es gibt da schon noch eine Möglichkeit

Sagen wir's mal so: Es ist eine der schon oben angesprochenen, aber diesmal ausführlich erläutert. Augenzwinkern
lim_lisa Auf diesen Beitrag antworten »

@ Mystic: Danke für die ausführliche und verständliche Erklärung! Total genial!

Wünsche euch noch einen schönen Samstag!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sollte man noch die rekursive Berechnung erwähnen. Es sei die Zahl der Möglichkeiten, mit Würfen die Augensumme zu erzielen. Damit man mit Würfen die Summe erreicht, muss man mit ersten Würfen eine der Summen erreicht haben und dann im letzen Wurf die Zahl werfen. Das führt zu der Rekursionsformel



mit den Anfangswerten



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