Konvergenzradius und Konvergenzbereich von Potenzreihen

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daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius und Konvergenzbereich von Potenzreihen
Hallo

Ich soll den Konvergenzradius und den Konvergenzbereich dieser Potenzreihe bestimmen:



Diese Gleichung ist mir bekannt:



Wie gehe ich das Schritt für Schritt an?
Algebraverrückter Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sonderlich viele Schritte musst du dafür nicht machen.
Schau dir doch mal an. Wie verhält sich denn diese Folge, wenn n gegen unendlich geht?
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss doch zuerst die Gleichung der Potenzreihe hinschreiben, oder?
Wie lautet die?
Algebraverrückter Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Potenzreihe hat die Form



Nun vergleiche das mal mit deiner Potenzreihe, also mit



Was sind in deiner Potenzreihe die und was ist dein ?

Und wie wird sich folglich verhalten, wenn n gegen unendlich geht?
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein "an" ist ja "n". Und "x0" ist "0".

Also lautet das Bildungsgesetz:



Aber was schreibe ich vor dem = ?
Ich kann das Bildungsgesetz ja nicht einfach so hinschreiben.
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibt man den Konvergenzradius so auf?



Wie geht's weiter?
Wie bestimme ich dann noch den Konvergenzbereich?
 
 
Algebraverrückter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also lautet das Bildungsgesetz:



Aber was schreibe ich vor dem = ?
Ich kann das Bildungsgesetz ja nicht einfach so hinschreiben.


Der "n-te Summand" in der Reihe ist . Damit könntest du die Reihe z. B. so aufschreiben:

.

Zitat:
Schreibt man den Konvergenzradius so auf?



Nicht ganz. Du hast hier durch ersetzt. So lautet dein aber nicht. Vorher hast du nämlich herausgefunden, dass . Wie müsste also die Formel aussehen? Und welchen Grenzwert erkennst du dann?
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Und an+1 stimmt?

Warum setze ich für an=n ein? Wie kommt man darauf?
Algebraverrückter Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, entsprechend gilt auch a_n+1 = n+1.

Wie kommt man darauf? Nun, eine Potenzreihe hat ja die Form




Nun vergleichen wir mal mit deiner Potenzreihe. Diese sieht so aus:



Das kann man aber auch so schreiben:

.

Vergleichen wir jetzt

mit

.

Dann sehen wir, dass , , , usw. Bzw. allgemein .

Verstanden? Augenzwinkern

Kommst du nun mit der Formel für weiter?
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »



Das währe doch unendlich durch unendlich+1 ?
Algebraverrückter Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Grenzwert 1 ist richtig Freude
Nun also zum Konvergenzbereich. Ist r der Konvergenzradius, so konvergiert die Potenzreihe für alle x mit , das heißt, für alle x, die von weniger als r entfernt sind. Der Konvergenzbereich ist also die Menge (bzw. mit , falls du nur die reellen Zahlen betrachtest).
Damit dürftest du nun auch den Konvergenzbereich für deine Potenzreihe angeben können. Wie lautet dieser?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Algebraverrückter
Ja, Grenzwert 1 ist richtig Freude

Schon, aber wo wurde das denn vom Fragesteller vorgeschlagen? geschockt

(Die Untersuchung der Konvergenz auf den Randpunkten gehört übrigens auch noch dazu)
Algebraverrückter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Schon, aber wo wurde das denn vom Fragesteller vorgeschlagen?


In seinem letzten Beitrag!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von daniel22
Das währe doch unendlich durch unendlich+1 ?


Ich lese dort den "Grenzwert" heraus Augenzwinkern
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss da noch den Zähler und Nenner durch n dividieren.

Dann kommt man auf den Konvergenzradius 1, oder?

Aber den Konvergenzbereich verstehe ich nicht.
Algebraverrückter Auf diesen Beitrag antworten »

Den Grenzwert 1 erhälst du folgendermaßen:
Erst kannst du intuitiv herangehen und dich fragen, wie

aussieht, wenn n immer größer wird.
Was passiert, wenn du eine "riesengroße Zahl" (z.B. 1000000) durch ihren Nachfolger (hier also 1000001) dividierst? Das Ergebnis rückt (je größer die Zahl n) immer näher an 1 heran. Z. B. ist

,

,

.

Und wenn wir noch größere Zahlen nehmen, rückt das Ergebnis noch näher an 1 heran. Denn wenn du eine "riesengroße Zahl" (z. B. n=1000000000) nimmst und ihren Nachfolger (n+1=1000000001), dann ist n+1 "nur minimal größer" als n (z. B. ist 1000000001 "minamal größer" als 1000000000). Und wenn man eine Zahl durch eine Zahl teilt, die nur "minimal größer" ist, dann ist das Ergebnis fast 1.
Das wäre das intuitive Herangehen.

Natürlich kannst du das auch noch formal begründen. Das würde etwa so aussehen:

Es ist

=

=.

Wegen und folgt

Hauptsache ist aber erstmal, dass dir intuitiv klar ist, warum der Grenzwert 1 ist. Kannst du die intuitive Begründung ganz oben in diesem Beitrag nachvollziehen?

Zum Konvergenzbereich: Die Reihe konvergiert für alle x, die von weniger als entfernt sind. Nehmen wir dazu kurz ein anderes Beispiel: Angenommen, wir haben eine Reihe vorliegen mit und . Dann besteht der Konvergenzbereich aus allen x, die von 3 einen Abstand von weniger als 5 haben. Der Konvergenzbereich ist dann die Menge ; bzw. falls ihr nur die reellen Zahlen betrachtet das Intervall (-2,8). Nun ist dein aber nicht 3 und dein nicht 5.
Wie lautet in deiner Reihe und wie lautet ? Und wie sieht folglich der Konvergenzbereich aus?
daniel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Jetzt habe ich den Grenzwert verstanden.

r=1
x0=0
Also muss der Konvergenzbereich so lauten:



Stimmt das?
Algebraverrückter Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das stimmt so.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
(Die Untersuchung der Konvergenz auf den Randpunkten gehört übrigens auch noch dazu)
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