Höhenlinien |
| 22.06.2013, 15:45 | keininet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Höhenlinien ich bin ein bisschen mit folgender Aufgabe überfordert, weil ich nicht so genau weiß, was ich machen soll. Aufgabe 55 (Höhenlinien) Fertige auf dem Quadrat [-1, 1]^2 eine beschriftete Skizze aller Höhenlinien derFunktion an. Berechne insbesondere alle Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und mit dem Rand des angegebenen Quadrats. Also ich habe mir dann eine Funktion ausgerechnet, die mir zu den x-werten das dazugehörige y liefert, so dass die Gleichung gelöst ist. Das schaut dann so aus: Diese kann ich mir auch einzeichnen. Alles kein Problem, aber wie komme ich jetzt auf die Höhenlininen. Was sind Höhenlinien eigentlich genau? Ist das quasi eine Funktion, die mir zu jedem x den Wert der Richtungsableitung in eine bestimmte Richtung r liefert? Muss ich also den Gradienten meiner Funktion f(x) berechnen und beispielsweise die beiden Richtungen und einsetzen und die erhaltene Kurve, dann in ein Diagramm einzeichnen? Gruß keininet |
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| 23.06.2013, 02:21 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Höhenlinien
Offensichtlich hast du die Gleichung falsch aufgelöst (Vorzeichenfehler), richtig müsste sein Diese zerfällt in zwei getrennte Funktionen und dies sind auch schon die Gleichungen der Höhenlinien. Die Art der Kurve solltest du an deren Gleichungen erkennen können (!) --> Es sind dies die zwei Äste der Hyperbel Höhenlinien (allgemein "Niveaumengen") sind im 2-dimensionalen Fall (R2) die Schnittkurven der gegebenen Fläche in R3 mit Ebenen, die parallel zu der x-y - Ebene sind, also längs der z-Achse parallelverschoben werden. Der Zusammenhang mit der Richtungsableitung in Punkten dieser Kurven kann erst dann hergestellt werden, wenn ein bestimmter Richtungsvektor angegeben wird. mY+ |
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| 23.06.2013, 09:56 | keininet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke für deine Antwort. Was meinst du genau mit
den gegebenen Flächen in R3 ? Gruß keininet |
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| 23.06.2013, 14:44 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"Höhenlinien" ist von dem allgemeinen Begriff Niveauflächen abgeleitet. Wenn deren Dimension 2 ist, liegt die Schnittmenge in einer Ebene, welche senkrecht zur z-Achse steht. Dann ist die Höhenlinie die Schnittkurve dieser Ebene mit der 3-dimensionalen Fläche. mY+ |
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| 23.06.2013, 15:29 | keininet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo, ich habe jetzt mal nachgelesen, was man unter niveauflächen versteht. Ich habe allerdings immer noch Verständnisprobleme mit deiner Anwtort. Meine Höhenlinien schneiden sich ja nirgends, wie kann es dann zu einer Schnittmenge kommen? Und du sagst:
Hab ich dann jetzt schon meine Höhenlinien oder nicht? Was meinst du denn mit deiner Schnittmenge? der Schnitt von was? Gruß keininet |
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| 23.06.2013, 15:39 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das habe ich jetzt schon zwei Mal geschrieben, hast du gelesen?
Also Schnitt der gegebenen räumlichen Fläche mit zu der x-y Ebene parallelen Ebenen .
Es scheint so, dass du die Antworten nicht genau genug liest. |
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| 23.06.2013, 15:55 | keininer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich verstehe einfach nicht, wie sich eine zwei dimensionale Kurve mit einer Ebene, die in z-Richtung verschoben ist, schneiden kann. Bsp. Wir haben ein drei dimesionales Koordinatensystem und meine Funktion (R^2) befindet sich in einer x-y Ebene mit z=0. Wie kann sich dann meine Funktion mit einer x-y-Ebene mit z.B. z=2 schneiden? Gruß keininet |
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| 23.06.2013, 17:09 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Funktion f(x,y) ist hier als z = f(x, y) zu verstehen, daher ist diese 3-dimensional. Die Höhenlinie ist für z = c zu erstellen. So interpretiere ich zumindest die Aufgabenstellung. Diese Funktion ist nicht zu verwechseln mit einer impliziten Funktion f(x, y) = 0, diese ist 2-dimensional. |
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| 23.06.2013, 17:21 | keininet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah, jetzt ergibt das ganze Sinn! Danke! entschuldige, dass ich davor so "dumm" nachgefragt habe. Wenn ich dann eine Aufgabe habe, wie: Bestimme eine Tangentialebene an das "Gebirge" einer Funktion f im Punkt Dann ist also meine Steigung in der Ebene x bzw. y-richtung auch gerade meine partielle Ableitung in x bzw. y Richtung? |
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| 23.06.2013, 17:32 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, so ist es. Die beiden partiellen Ableitungen erzeugen zwei Richtungsvektoren der Tangentialebene. Denke aber daran, dass der Punkt (x0; y0) auch einen z-Wert (z0) hat, denn erst damit kann die Gleichung der Tangentialebene bestimmt werden. ____________ Alternativ wird bei f(x, y) - z = 0 als Normalvektor der Tangentialebene der Vektor (fx; fz; -1) herangezogen (fx, fy sind die part. Abl. nach x bzw. y), was mit dem Punkt (x0; y0; z0) wesentlich schneller zu einer parameterfreien Ebenengleichung verhilft. mY+ |
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| 23.06.2013, 17:36 | keininet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, sehr gut! Vielen Dank für die Geduld! Du hast mir wirklich sehr weitergeholfen! Viele Grüße, keininet |
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