Verschoben! Temperaturverteilung und Richtungsableitung |
| 22.06.2013, 14:22 | durden | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Temperaturverteilung und Richtungsableitung Hi! Habe gerade folgendes Problem und hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt. Im R^3 sei eine Temperaturverteilung durch T(x,y,z) = 88 - 3x^2 - y^2 - 2z^2 gegeben. Welche Richtung ist vom Punkt P (1/1/1) aus zu wählen, um eine möglichst rasche Abkühlung zu erreichen? Bestimmen Sie die Richtungsableitung von T in P in diese Richtung. Meine Ideen: Naja eine schnelle Abkühlung ist gleich gefunden: T nach x,y und z ableiten, P einsetzen, damit wäre die Richtung einer raschen Abkühlung (-6 / -2 / -4). Mein Problem ist jetzt die Richtungsableitung, da ich ja noch einen Richtungsvektor benötige. Soll ich dahingehend den Einheitsvektor meines gefundenen Vektors finden und ihn mit (-6 / -2 / -4) multiplizieren oder wie gehe ich das am besten an? Lg und danke schon mal für die Hilfe! |
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| 22.06.2013, 22:38 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Steigung ist in der Richtung des Gradienten am größten. Daher hast du (richtig) den Gradienten berechnet. Zur Richtungsableitung in Richtung des Gradientenvektors: Dieser Vektor ist zu normieren und skalar mit dem Gradientenvektor zu multiplizieren. -->
Ja, genau dies sollst du tun! 
[ ]mY+ |
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| 22.06.2013, 23:33 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Temperaturverteilung und Richtungsableitung
das ist wohl die Richtung der stärksten Temperaturzunahme.. Also: es geht in die entgegengesetzte Richtung. |
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| 23.06.2013, 00:39 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Temperaturverteilung und Richtungsableitung
Das ist nicht ersichtlich. Im Gegenteil, die angegebene Temperaturfunktion kann/wird durchaus eine Abnahme enthalten (88 ist die Höchsttemperatur). Für die Multiplikation mit (-1) besteht daher kein Grund. Der Wert der Richtungsableitung ist übrigens davon unabhängig. mY+ |
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| 23.06.2013, 00:49 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
muss man sich neuerdings beim Gradienten noch um Nebendetails kümmern ? Im Punkt (0,0,0) geht es sicherlich überall bergab, aber im Punkt (1,1,1) gibt es einen stärksten Anstieg in Richtung (-6,-2,-4) , also Temperaturzunahme. |
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| 23.06.2013, 08:06 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Kannst du das bitte näher erklären? In (0; 0; 0 / 88) ist ein globales Maximum, dort befindet sich die höchste Temperatur. Der Gradient im Punkt (1; 1; 1) führt augenscheinlich zu Punkten mit niedrigerer Temperatur.
K. A. was du damit sagen willst. |
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| 23.06.2013, 11:30 | durden | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Aha, ja was soll ich jetzt annehmen? Ist es eine Temperaturzunahme oder Abnahme? Danke schon mal für die Hilfe! |
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| 23.06.2013, 12:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich bin mit Dopap nicht einer Meinung. Ausserdem ist der Wert der Richtungsableitung in der Gradientenrichtung gefragt und dieser ist davon unabhängig. Hast du den Hinweis mit der Richtungsableitung verstanden? mY+ |
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| 23.06.2013, 13:11 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dopap hat allerdings recht. Im Nullpunkt liegt natürlich ein Maximum vor; deswegen sind Gradient und Richtungsableitung dort auch allesamt Null. Um den Nullpunkt geht es hier aber gar nicht, sondern um . Dort ist der Gradient nicht Null, sondern zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs. Da all seine Komponenten negativ sind, kann man sich auch vorstellen, dass er "ein wenig" in Richtung Nullpunkt, also eher zum Maximum zeigt. Den stärksten Abfall (wunderbares Wort!) findet man dann in der entgegengesetzten Richtung.
Die Multiplikation mit ändert natürlich auch das Vorzeichen der Richtungsableitung. (was mit "Nebendetails" gemeint sein sollte, ist mir allerdings auch unklar...) |
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| 23.06.2013, 14:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Steigung = "Anstieg", dies impliziert doch nicht, dass die Steigung nicht auch negativ sein, also auch einen Abfall bezeichnen kann? Geht man vom Punkt (1; 1; 1) allerdings nur ein kleines Stück* in Richtung des Gradienten, so gelangt man tatsächlich zu einem Punkt mit höherer Temperatur. Dabei nützt aber dann das "Umdrehen" des Gradienten auch nichts, dort bleibt es bei der Temperaturerhöhung (!) (*) Von (1, 1; 1) aus um h*(-6; -2; -4), mit rd. -0.4 < h < 0.4 Der Grund liegt im Maximum bei (0; 0; 0), wenn man sich von (1; 1; 1) dorthin bewegt. Bei größer werdenden Faktoren h entsteht dann aber ein eklatanter Temperaturabfall. Wie ist das mit einer Temperaturerhöhung, die dann definitiv nicht mehr stattfindet, zu vereinbaren? (*) T(1; 1; 1) = 82; T(-5; -1; -3) = - 6 Denselben Wert erhält man übrigens auch, wenn man in die andere Richtung des Gradienten geht (deswegen richtungsunabhängig). Die Richtungsableitung in (1; 1; 1) in Richtung des Gradienten ist mit , wie schon gesagt, ebenfalls von der Orientierung unabhängig. [Skalarprodukt des Gradientenvektors mit seinem normierten Vektor, beide haben dann ein negatives Vorzeichen; oder hier einfach der Betrag des Gradientenvektors] Conclusio: Die Diskussion, ob Erhöhung oder Abfall der Temperatur, ist zwar interessant, trägt jedoch nicht zur Lösung der Aufgabe bei. Falls ich mich hier irre, Berichtigungen sind bitte willkommen! mY+ |
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| 23.06.2013, 15:44 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ein positiver ("echter") Anstieg ist aber größer als ein negativer, weshalb in der Richtung des größten Anstiegs auch ein tatsächlicher, positiver Anstieg zu vermerken ist. Die entgegengesetzte Richtung ist die des "größten Abfalls" (kleinsten – nunmehr nichtpositiven – Anstiegs).
Die Ableitung/Steigung beschreibt nur das lokale, infinitesimale Verhalten der Funktion. Wenn du dabei bist, einen Berg hochzusteigen und irgendwann einmal ganz rübergeklettert bist, läufst du auch wieder bergab, obwohl die gewählte Richtung anfangs bergauf führte.
Nein. Zumindest nicht wenn du dort den Gradienten auch genau einmal zu addiert hast.
Wenn du einen Einheitsvektor hast, dann ist doch wohl In diesem Fall wählt man . Das Vorzeichen des Gradienten selbst bleibt vom Orientierungswechsel des Richtungsvektors völlig unbeeinflusst. |
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| 23.06.2013, 16:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So weit kann ich folgen. Es stimmt natürlich, dass von (1; 1; 1) ausgehend in beide Richtungen nicht der gleiche Wert herauskommen kann, da war wohl noch (0; 0; 0) im Spiel. Sohin lautet die R.A. dann wegen der Multiplikation des Richtungsvektors mit (-1). THX mY+ |
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| 23.06.2013, 16:36 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, jetzt stimmt es. |
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| 23.06.2013, 17:32 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
mit "Nebendetails" meinte ich solche Zusatzüberlegungen wie: Ist ein Extrema oder mehrere in der Nähe und was "bedeutet" das für die Frage ? |
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| 25.06.2013, 11:37 | durden | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Huch, danke für die ganze Hilfe
Könnte man nicht auch so argumentieren, dass der grad f immer den stärksten Anstieg von f ausgibt. Somit müssen die Vorzeichen des grad f umgedreht werden um einen Abfall zu kennzeichnen. Dann mit Einheitsvektor multiplizieren. lg |
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| 25.06.2013, 17:10 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
meine Rede!
Dann den mit dem Richtungs-Einheitsvektor multiplizieren, falls eine Richtungsableitung gewünscht wird. |
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