Homotopie zu Polygonzug

22.06.2013, 17:04

Emsland

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Homotopie zu Polygonzug

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} U\subseteq\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ offen, seien $\begin{eqnarray*} p,q\in U \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \alpha\colon [0,1]\to \end{eqnarray*}$ eine stetige Kurve von p nach q.

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist homotop zu einem Polygonzug in U von p nach q.

Meine Ideen:
Hallo,

kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das zeigen kann?

Muss ich einen solchen Polygonzug konkret konstruieren kann man ganz einfach annehmen, man habe einen Polygonzug $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ mit dem Anfangspunkt p, dem Endpunkt q und den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} a_1,\hdots,a_m \end{eqnarray*}$ und muss dann zeigen, dass es eine stetige Funktion

$\begin{eqnarray*} A\colon [0,1]\times [0,1]\to U \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} A(0,t)=\alpha(t), A(1,t)=\beta(t)~\forall~t\in [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A(u,0)=p, A(u,1)=q~\forall~u\in [0,1] \end{eqnarray*}$

gibt?

22.06.2013, 17:18

Che Netzer

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RE: Homotopie zu Polygonzug
Ich würde eine Interpolation vorschlagen und die Homotopie nur indirekt angeben.

Der erste Gedanke:
Ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine offene Kugel, so ist die Aussage klar.
Weiterhin: Verläuft eine Kurve durch eine offene Kugel in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , so kann man diese Kurve innerhalb dieser Kugel zu einem Polyngonzug defomieren.

Kannst du damit schon etwas anfangen?

22.06.2013, 17:31

Emsland

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Ehrlich gesagt: nein.

Ich hatte mir Folgendes gedacht:

Man kann doch zu jedem Punkt auf der Kurve eine Epsilonkugel um diesen Punkt finden, die wegen der Offenheit von U in U enthalten ist.
Desweiteren ist $\begin{eqnarray*} \alpha[0,1] \end{eqnarray*}$ (also die Verbindungs von p nach q doch kompakt in U, da [0,1] kompakt in den reellen Zahlen ist und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ stetig ist. Also findet man von obigen Kugeln eine endliche Teilüberdeckung.

Das heißt, man kann die Kurve mit endlich vielen offenen Kugeln überdecken.
Dann könnte man doch sich die Mittelpunkte dieser Kugeln hernehmen und diese zu einem Polygonzug verbinden.

Damit müsste man doch einen Polygonzug gefunden haben, der in U liegt?

Und kann man nicht jetzt irgendwie eine Homotopie ausfindig machen?

22.06.2013, 17:38

Che Netzer

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Zitat:

Original von Emsland
Damit müsste man doch einen Polygonzug gefunden haben, der in U liegt?

Genau.
Du müsstest nur noch kurz begründen, wieso man die Kurve zwischen zwei Mittelpunkten zu einem Geradensegment deformieren kann (ohne dabei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ zu verlassen).

Zitat:

Und kann man nicht jetzt irgendwie eine Homotopie ausfindig machen?

Die Funktion brauchst du nicht explizit anzugeben!

22.06.2013, 17:48

Emsland

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Zitat:

Original von Che Netzer

Du müsstest nur noch kurz begründen, wieso man die Kurve zwischen zwei Mittelpunkten zu einem Geradensegment deformieren kann (ohne dabei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ zu verlassen).

Hat das irgendwie mit dem Begriff Sekante zu tun?

22.06.2013, 17:52

Che Netzer

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Nein; ich wüsste nicht, wie du den Begriff einbauen könntest.

Stattdessen ist es sinnvoll, die Kugeln so zu wählen, dass in ihnen nicht zwei Kurvenstücke liegen, sondern jeweils nur eins (welches jedoch mehrfach durchlaufen wird).
Der Begriff Sekante passt dazu aber nicht.

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22.06.2013, 17:56

Emsland

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Habe ich, ehrlich gesagt, jetzt nicht verstanden, was Du meinst.

Wieso ist das sinnvoll und was meinst Du mit "mehrfach durchlaufen"?

22.06.2013, 17:58

Che Netzer

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"Mehrfach durchlaufen" heißt, dass man beim Durchlaufen der Kurve einen Weg doppelt geht (d.h. die Abbildung ist nicht injektiv).

Sinnvoll ist es, weil dann die Kurve zwischen zwei Mittelpunkten vollständig in den beiden zugehörigen Kreisen liegt.

22.06.2013, 18:02

Emsland

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Meinst Du, dass man die Kugeln so wählt, dass eine Kugel jeweils den Mittelpunkt der anderen Kugel beinhaltet?

Und eben nicht so, dass die Kugeln aneinander grenzen?

22.06.2013, 18:12

Che Netzer

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Nein.
Am besten ist das bildlich zu verstehen:
Mal dir irgendeine Kurve auf. Jetzt zeichne Kreise um Mittelpunkte auf der Kurve, die so klein sind, dass die Kurve jeden Kreis(-Rand) nur zweimal (beim Ein- und Austreten) schneidet.

22.06.2013, 18:18

Emsland

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Ja, okay. und sollen sich die Kreise schneiden oder sich nur berühren?

Schon schneiden, weil was ist sonst mit den Randpunkten?

Nur, was Du mir mehrfach durchlaufen meintest, verstehe ich leider noch nicht.

Wenn man die Kugeln so wählt, wie Du sagst, was wird da denn mehrfach duchlaufen?

22.06.2013, 18:54

Che Netzer

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Ja, die Kreise/Kugeln müssen sich schneiden.

Und einen Weg mehrmals zu durchlaufen, heißt anschaulich: Wenn du die Kurve aufzeichnest, dann ziehst du eine Linie mehrfach.

22.06.2013, 18:59

Emsland

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Aber ich versteh' nicht, wo man da eine Linie mehrfach zieht, wenn man die Kugeln so wählt, dass sie sich erstens schneiden und zweitens jeweils nur zweimal geschnitten werden.

22.06.2013, 19:00

Che Netzer

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Tut man ja gar nicht.
Die Aussage ist nur, dass das erlaubt ist.

22.06.2013, 19:03

Emsland

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Versteh ich nicht, wieso das erlaubt sein muss. Big Laugh

Big Laugh

22.06.2013, 19:04

Che Netzer

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Wieso sollten wir es verbieten?

22.06.2013, 19:08

Emsland

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Und inwiefern hat man jetzt eine Homotopie gefunden?

Man hat einmal die ursprüngliche Kurve und dann den Polygonzug durch die Kreismittelpunkte. Inwiefern zeigt das, dass die Kurve zu diesem Polygonzug homotop ist?

22.06.2013, 19:49

Che Netzer

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Wenn man die Kurve auf einen Kurvenabschnitt zwischen zwei Mittelpunkten einschränkt, ist diese restringierte Kurve homotop zum Geradensegment, welches diese Mittelpunkte verbindet.

Noch offen sind folgende Überlegungen:
- Wieso ist das so?
- Wie werden die Mittelpunkte/die Kugeln angeordnet?

22.06.2013, 19:54

Emsland

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Zwei gute Fragen, die ich nicht beantworten kann.

Zur ersten Frage fällt mir lediglich der Zwischenwertsatz ein...

22.06.2013, 19:55

Che Netzer

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Versuch es hiermit:

Zitat:

Sinnvoll ist es, weil dann die Kurve zwischen zwei Mittelpunkten vollständig in den beiden zugehörigen Kreisen liegt.

Sagt dir der Begriff "einfach zusammenhängend" etwas?

22.06.2013, 20:10

Emsland

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Die beiden Kugeln, in denen sich ein Wegstück zwischen zwei Mittelpunkten befindet, sind gemeinsam (also deren Vereinigung) wegzusammenhängend und nullhomotop, also einfach zusammenhängend.

Das Wegstück und das Geradenstück bilden zusammen einen geschlossenen Weg, den man auf einen Punkt zusammenziehen kann.

Ich weiß jedoch nicht, ob daraus die Homotopie von der restringierten Kurve zu dem Geradenstück folgt.

22.06.2013, 21:07

Che Netzer

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Doch, genau daraus folgt die Homotopie. Direkt daraus, dass die Vereinigung der beiden Kugeln einfach zusammenhängend ist.

Wenn die Differenz zweier Kurven nullhomotop ist, sind die beiden Kurven homotop.

22.06.2013, 21:13

Emsland

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Sorry, das war blödsinn.

22.06.2013, 21:22

Emsland

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Zu fragen, wieso sie dann homotop sind, führt hier vielleicht zu weit.

Das frage ich vielleicht nochmal extra.

Und was meintest du mit Anordnung der Kugeln/ Mittelpunkte?

22.06.2013, 21:25

Che Netzer

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Du möchtest die Mittelpunkte der Kugeln verbinden.
Welcher Kugeln?
Jeden Mittelpunkt mit jedem anderen?

Vielmehr den Mittelpunkt einer Kugel mit dem der "nachfolgenden" Kugel.

22.06.2013, 21:31

Emsland

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Ja, das meinte ich. Jeweils zwei aufeinanderfolgende Mittelpunkte miteinander verbinden.

Okay, dann ist es so weit geklärt, ich gebe zu: mit viel Umstand.

Man hat sozusagen gezeigt, dass die Kurve "lokal" homotop zu Geradenstücken ist, also "global" zu einem Polygonzug. Dafür war es wichtig, zunächst zu klären, dass es so einen Polygonzug, der ganz in U liegt und endlich vielen "Eckpunkte" hat, überhaupt auch gibt. Dafür habe ich die Kompaktheit der Kurve genutzt und die Offenheit von U.

----

Dann frage ich abschließend vielleicht doch noch, wieso zwei Wege, deren Differenz nullhomotop ist, homotop sind.

Abschaulich ist es einigermaßen klar:

Wenn ich erst den einen Weg A gehe und dann den anderen Weg B zurück, habe ich A-B und das ist ein geschlossener Weg. Dieser ist in einem einfach zusammenhängenden Gebiet nullhomotop, also homotop zu einem "Punktweg" bzw. konstanten Weg. Es ist naheliegend, dass man dann die Kurve A irgendwie in die andere Kurve B überführen kann.

22.06.2013, 21:39

Che Netzer

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Zitat:

Original von Emsland
Ja, das meinte ich. Jeweils zwei aufeinanderfolgende Mittelpunkte miteinander verbinden.

Was heißt "aufeinanderfolgend"?

Zitat:

Dann frage ich abschließend vielleicht doch noch, wieso zwei Wege, deren Differenz nullhomotop ist, homotop sind.

Wenn $\begin{eqnarray*} A-B \end{eqnarray*}$ homotop zur "Nullkurve" ist, dann füge mal jeweils ein $\begin{eqnarray*} +B \end{eqnarray*}$ hinzu.
Genau wie beim Rechnen mit irgendwelchen Zahlen. Aus $\begin{eqnarray*} A-B=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ !

22.06.2013, 21:44

Emsland

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Mit aufeinanderfolgend meine ich:

Dass die Mittelpunkte aufsteigend sind.

---

Aber wieso A-B=0.

22.06.2013, 21:49

Che Netzer

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Was sollen aufsteigende Mittelpunkte sein?

Und der Punkt ist bezüglich Homotopie nunmal eine Art Null.
Das ist das neutrale Element bezüglich der "Addition" von Kurven.

22.06.2013, 21:54

Emsland

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Mit aufsteigenden Mittelpunkten meine ich hier, dass jeweils für zwei Mittelpunkte gilt, dass einer kleiner ist als der andere, also "kleiner" im Sinne von, näher am Startpunkt p liegend.

---

Ich weiß nicht so recht, was ich davon halten soll.

Ich hätte jetzt gedacht:

A-B lässt sich auf einen Punkt zusammenziehen, etwa den näher an p liegenden Mittelpunkt, den ich mal a nenne.

Also nach Zusammenziehen:

A-B=a.

22.06.2013, 22:01

Che Netzer

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Mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ meine ich eine konstante Kurve.
Diejenige, die konstant $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist, kann dann auch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ genannt werden.

22.06.2013, 22:03

Emsland

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Hm, okay...

Wie gesagt:

A-B=a

dann ists mir unklar.

Wenn

A-B=0 <-> A=B

dann ists mir klar.

So ganz klar ists mir nicht, wieso man a oder 0 schreiben kann, weils doch offenbar vom Rechnen her nen unterschied macht.

Aber ich will jetzt auch nicht nerven.

22.06.2013, 22:06

Che Netzer

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Aber $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist keine Kurve.
Wenn du $\begin{eqnarray*} \gamma(t)\equiv a \end{eqnarray*}$ setzt, ist $\begin{eqnarray*} \gamma=0 \end{eqnarray*}$ .

22.06.2013, 22:10

Emsland

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Für mich ist aber $\begin{eqnarray*} y(t)=a~\forall t \end{eqnarray*}$ etwas anderes als $\begin{eqnarray*} y(t)=0 \end{eqnarray*}$ .

Big Laugh

Big Laugh

22.06.2013, 22:13

Che Netzer

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Es redet ja auch niemand von $\begin{eqnarray*} \gamma(t)\equiv0 \end{eqnarray*}$ .
Mit "Null" ist für Kurven eine Kurve gemeint, die ein neutrales Element für die "Addition von Kurven" ist. Das ist gerade jede nullhomotope Kurve.

22.06.2013, 22:15

Emsland

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Seltsam, aber ich akzeptiere es.

Wieso ist eine nullhomotope Kurve ein neutrales Element bei der Kurvenaddition...

Naja, okay, wenn ich an den Endpunkt einer Kurve einen nullhomotopen Weg anhänge, und den dann auf den Punkt zusammenziehen kann... dann ist es ja schon ein neutrales Element.

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