Zahlentheorie: Primitivwurzeln

22.06.2013, 17:08	Meerschweinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie: Primitivwurzeln Hallo an alle, ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} p \in \mathbb P \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass das Produkt aller inkongruenten primitiven Wurzeln mod $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ kongruent $\begin{eqnarray} (-1)^{\varphi(p-1)} \end{eqnarray}$ modulo $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist. Ich verstehe grundsätzlich nicht, was hier überhaupt die Aussage ist. Was ist denn das Produkt aller inkongruenten primitiven Wurzeln mod $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ? (Was Primitivwurzeln sind, ist mir bekannt) Nehmen wir beispielsweise einfach mal $\begin{eqnarray} p = 5 \end{eqnarray}$ . Davon die Primitivwurzeln sind $\begin{eqnarray} 2,3 \end{eqnarray}$ . Aber welche davon sind jetzt inkongruent mod $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ? Zu zeigen ist ja, falls ich das richtig verstanden habe, folgendes: $\begin{eqnarray} \prod \mbox{inkongruente Primitivwurzeln mod } p \equiv (-1)^{\varphi(p-1)} \quad \mbox{mod } p \end{eqnarray}$ Wenn mir jetzt jemand sagen kann, wie $\begin{eqnarray} \prod \mbox{inkongruente Primitivwurzeln mod } p \end{eqnarray}$ aussieht, könnte ich das vermutl. hinbekommen ...
22.06.2013, 17:12	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du betrachtest hier die Einheitengruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/p\mathbb Z)^ \end{eqnarray}$ und multiplizierst alle Erzeuger. Die Behauptung ist, dass $\begin{eqnarray} (-1)^{\varphi(p-1)} \end{eqnarray}$ herauskommt. Z.b. für dein Beispiel p = 5: $\begin{eqnarray} 2 \cdot 3 = 6 = 1 = (-1)^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2 = \varphi(5-1) \end{eqnarray}$ . Passt. Bevor man die Aufgabe angeht, sollte man sich klarmachen: $\begin{eqnarray} \varphi(p-1) \end{eqnarray}$ ist sowieso immer gerade, außer für $\begin{eqnarray} p = 2,3 \end{eqnarray*}$ . Die Fälle p = 2,3 kann man also "von Hand" überprüfen. In alle anderen Fällen ist einfach nur zu zeigen, dass das Produkt 1 ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »