Euler-Funktion Eulerprodukt

22.06.2013, 19:11

mathemensch123

Euler-Funktion Eulerprodukt

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe folgenden Satz: $\begin{eqnarray*} D(s)=\sum c(n)n^{-s} \end{eqnarray*}$ eine Dirichletreihe mit multiplikativen Koeffizienten. Dann gilt
$\begin{eqnarray*} D(s) = \prod_p \sum_{k=0}^{\infty } \frac{c(p^k)}{p^{ks}}. \end{eqnarray*}$

Ich möchte nun das auf die die Eulersche Phifunktion anwenden, um damit zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\varphi (n) }{n^s} = \prod_p \frac{1-p^{-s}}{1-p^{1-s}} \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Setze ich die Phi-Funktion in den Satz ein und beachte, dass $\begin{eqnarray*} \varphi (p^k) = p^k-p^{k-1} \end{eqnarray*}$ , erhalte ich (nur für die Summe) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty } \frac{p^k-p^{k-1}}{p^{ks}} \end{eqnarray*}$ . Den ersten Teil des Bruches kann ich mittels geometrischer Reihe verarbeiten, den zweiten Teil nicht...wie komme ich nun weiter?

23.06.2013, 10:38

ollie3

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RE: Euler-Funktion Eulerprodukt
hallo,
habe länger darüber nachgedacht, liegt das problem vielleicht darin, wenn du
phi(n) einfach durch phi(p^k) ersetzt, denn in der summe durchläuft n ja alle
natürlichen zahlen und nicht nur primzahlpotenzen p^k ? verwirrt

gruss ollie3

23.06.2013, 10:43

mathemensch123

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RE: Euler-Funktion Eulerprodukt
Hallo ollie3, danke für deine Antwort. Aber nein, ich setze ja einfach in den Satz (den ich oben als erstes geschrieben habe) ein. Dort benötigt es nur die Primzahlpotenzen.

23.06.2013, 10:52

mathemensch123

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RE: Euler-Funktion Eulerprodukt
Habe jetzt auch mal weiter gerechnet, vielleicht kann jemand mal drüber schauen und sagen, wo etwas falsch ist...danke! smile

Wir betrachten wieder nur die Summe.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty }\frac{p^k-p^{k-1}}{p^{ks}}=\sum_{k=0}^{\infty } \left( \frac{1}{p^{s-1}}\right) ^k - \frac{1}{p}\sum_{k=0}^{\infty }\left( \frac{1}{p^{s-1}}\right)^k = \frac{1}{1-p^{s-1}}-\frac{1}{p}\cdot \frac{1}{1-p^{s-1}}=\frac{p-1}{p-p^{s}} \end{eqnarray*}$

Aber das wird ja nicht zu $\begin{eqnarray*} \frac{1-p^{-s}}{1-p^{1-s}} \end{eqnarray*}$ oder?

23.06.2013, 10:55

Mystic

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RE: Euler-Funktion Eulerprodukt

Zitat:

Original von ollie3
hallo,
habe länger darüber nachgedacht, liegt das problem vielleicht darin, wenn du
phi(n) einfach durch phi(p^k) ersetzt, denn in der summe durchläuft n ja alle
natürlichen zahlen und nicht nur primzahlpotenzen p^k ? verwirrt

gruss ollie3

Nein, denn laut Wikipedia gilt ja

Zitat:

Dirichletreihen mit multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen als Koeffizienten lassen sich als Eulerprodukt darstellen. Ist f(n) eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und konvergiert die von ihr erzeugte Dirichletreihe F(s) für die komplexe Zahl s absolut, dann gilt

$\begin{eqnarray*} F(s)=\prod_{p\ {\rm prim}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(p^k)}{p^{ks}} \end{eqnarray*}$

also dann hier

$\begin{eqnarray*} F(s)= \prod_p (1-\frac 1p) \sum_{k=0}^\infty \frac {p^k}{p^{ks}}=\prod_p (1-\frac 1p) \sum_{k=0}^\infty \left(p^{1-s}\right)^k=\prod_p\frac {1-p^{-1}}{1-p^{1-s}} \end{eqnarray*}$

Auf dem vom TE angegebenen Ausdruck komme also auch ich nicht... unglücklich

23.06.2013, 11:02

mathemensch123

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RE: Euler-Funktion Eulerprodukt
oh danke - habe dabei auf jeden fall einen ganz dummen fehler bei mir bemerkt.... Augenzwinkern

ja also, das sollte aber rauskommen, laut einschlägiger fachliteratur und wikipedia smile

mh...ist irgendwo ein denkfehler gemacht worden?

23.06.2013, 11:12

Mystic

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RE: Euler-Funktion Eulerprodukt

Zitat:

Original von mathemensch123
mh...ist irgendwo ein denkfehler gemacht worden?

Das kann man wohl sagen... Big Laugh

Du hast sinngemäß folgende Summenformel einer unendlich geometrischen Reihe verwendet

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac 1q\right)^k=\frac 1{1-q} \end{eqnarray*}$

welche natürlich so klar falsch ist...

23.06.2013, 11:19

mathemensch123

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RE: Euler-Funktion Eulerprodukt
ja genau das ist der fehler, den ich durch dich bemerkt habe smile

danke!

meine frage nach dem denkfehler war eher, ob du/wir bei deiner rechnung einen denkfehler hatten - weil eben nicht das rauskommt, was rauskommen sollte

23.06.2013, 12:16

Mystic

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RE: Euler-Funktion Eulerprodukt

Zitat:

Original von mathemensch123
meine frage nach dem denkfehler war eher, ob du/wir bei deiner rechnung einen denkfehler hatten - weil eben nicht das rauskommt, was rauskommen sollte

Aber klar doch! Augenzwinkern

Für k=0 stimmen unsere beiden Formeln für $\begin{eqnarray*} \varphi(p^k) \end{eqnarray*}$ nicht, d.h., mein Ausdruck

$\begin{eqnarray*} (1-\frac 1p) \sum_{k=0}^\infty \frac {p^k}{p^{ks}} \end{eqnarray*}$

muss korrigiert werden zu

$\begin{eqnarray*} \frac 1p+(1-\frac 1p) \sum_{k=0}^\infty \frac {p^k}{p^{ks}} \end{eqnarray*}$

23.06.2013, 12:26

mathemensch123

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RE: Euler-Funktion Eulerprodukt
oh man natürlich^^

vielen vielen Dank!

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