Fachreferat in Mathematik |
| 26.02.2007, 17:45 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Fachreferat in Mathematik bräuchte mal eure Hilfe bei dieser Extremwert-Aufgabe: >>Der Querschnitt eines Tunnels hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. a) Für welche Abmessungen des Querschnitts hat dieser bei gegebenem Umfang U=50m den größten Flächeninhalt? b) Für Welche Abmessungen des Querschnitts hat dieser bei gegebenem Flächeninhalt A=150m² den kleinsten Umfang? Und jetzt hab ich noch ne Frage.. weiß jemand, wo ich eine genaue Definition für "Neben- und Hauptbedingungen", Zielfunktion, Randwerten und Parameter herbekomme?? Danke schon mal im Vorraus! Grüßla |
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| 26.02.2007, 18:02 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hat denn hier keiner eine Ahnung, wie das geht?? 
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| 26.02.2007, 18:09 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte nicht so ungeduldig. Du darfst uns gerne mehr als 15 Minuten Zeit lassen. Mache dir mal eine Skizze und beschrifte diese. Dann stelle dir mal die Funktion auf, mit der du den Umfang und den Flächeninhalt der Tunnelöffnung bestimmst. Wenn du das hast, können wir weitermachen 
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| 26.02.2007, 18:14 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohne Ansätze wissen wir nichts... 
Haupt- oder Extremalbedingung: Welche Funktion muss maximal/minimal werden (maximaler Flächeninhalt z.B.). Diese Funktion ist abhängig von MEHREREN Variablen! Nebenbedingung: Dies sind zusätzliche Bedingungen, die erfüllt sein müssen. Hier ist aber das "Ergebnis" des Terms gegeben, es muss NICHT maximal/minimal werden (z.B. ein gegebener Umfang). Zielfunktion: Mit Hilfe der Nebenbedingungen werden so viele Variablen aus der Extremalbedingung "herausgestrichen", dass nur noch EINE übrigbleibt. Die Funktion hat also EINE Variable und muss MAXIMAL/MINIMAL werden. Damit kannst du eine Grenzwertüberlegung durchführen. Für deine Zielfunktion gibt es eine Definitionsmenge (das sollte die Menge sein, wo es überhaupt SINN macht). Die äußersten Werte dieser Menge sind die Randwerte der Funktion. Gruß MI |
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| 26.02.2007, 18:14 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja sorry, ihr habt natürlich 15 Minuten Zeit ;-) Also ne Zeichnung hab ich mir schon gemacht. Und stimmen diese Formeln? A= a*+0,5*r²*Pi =150m² U= 2*r*2*h+r*Pi =50m |
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| 26.02.2007, 18:16 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso ohne Ansätze?? Ich hab auch nicht mehr gegeben als das, was in der Aufgabe steht und halt ne Zeichnung! |
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| 26.02.2007, 18:17 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Irgendwie fehlt mir der Flächeninhalt vom Rechteck ein wenig
. Ist irgendwie nur die Höhe da...Und der Flächeninhalt vom Kreis ist auch nicht korrekt - woher die 0,5 oder sollen die zum Rechteck? Außerdem: Wo steht in a) 150 Quadratmeter? Vielleicht erklärst du erst einmal, was a, r und h bei dir bedeutet? (Skizze - siehe Calvin
).Gruß MI EDIT: Mit "Ansätze" sind eigene Ideen gemeint. |
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| 26.02.2007, 18:23 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja stimmt *g* also A= a*b Und das mit den 150m² gut..war halt scho weng weiter ;-) Und die 0,5 kommen daher, weil wenn du dir mal ne Zeichnung vorstellst, oder machst, ist ja ein halbkreis auf dem rechteck => Querschnitt eines Tunnels ;-) Was meinst du mit "Sizze siehe Calvin??) Und eigene Ansätze..gut..dann fang ich halt mal an: Als erstes muss man die Formel aufstellen, die extremal werden soll Danach muss man Haupt-und Nebenbedingungen aufstellen und die Nebenbedingungen so umstellen, dass man sie in die Hauptbedingungen einsetzten kann und am Ende nur noch eine Variable hat. Also sprich, dann hat man die Zielfunktion. Danach leitet man ab und bestimmt die relativen Extremwerte soweit so gut..stimmt des schon mal in etwa? *g* |
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| 26.02.2007, 18:28 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sollte heißen: "Bring mal ne Skizze
"Das mit dem Halbkreis ist jetzt klar... 
Kurze Denkblockade
Dennoch: Du hast erst eine Nebenbedingung - in deiner Funktion sind aber drei Variablen. Zwei müssen also weg = 2 Nebenbedingungen gebraucht! Kleiner Tipp: Siehst du einen Zusammenhang zwischen Breite des Rechtecks und Radius? Kannst du damit die Neben- und Hauptbedingung modifizieren? Der Weg ist schon mal ungefähr richtig beschrieben
Gruß MI |
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| 26.02.2007, 18:33 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
au backe.. hab des hier noch nie gemacht mit ner Skizze :-D Aber weißt es ja jetzt eh schon *fg* Oh Gott...was du mit den 2 Nebenbedingungen meinst, weiß ich ehrlichgesagt nicht. Ich hab kein Schimmer wie ich das machen soll! Ja die Breite = Durchmesser des Halbkreises aber was ich damit jetzt anfangen soll... |
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| 26.02.2007, 18:34 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wie hängen Durchmesser und Radius zusammen 
. Kannst du dann b in r ausdrücken? |
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| 26.02.2007, 18:40 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na Durchmesser ist 2*r also Formel: d=r+r und b= Breite ein Rechteck hat ja 2 kurze (a) und 2 längere (b) seiten. Das eine ist die LÄnge und das andere die Breite. Deswegen b und a ;-) |
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| 26.02.2007, 18:44 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das meine ich nicht: Wenn b=d=r^2, dann kannst du doch schreiben: Das war gemeint. dasselbe in der Nebenbedingung auch. Allerdings würde ich mir die noch mal genauer anschauen... Gruß MI |
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| 26.02.2007, 18:52 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die Formel hab ich sogar auch schon irgendwo auf meinen Blättern stehen..so ungefähr halt *g* Mal noch ne etwas vielleicht dumme frage ;-): Du schreibst, dass ich diese formel auch in der Nebenbedingung schreiben kann/soll, dann heißt die ja bei der Aufgabe a) ist ja dann die Nebenbedingung U=a+2b+a*Pi und wenn ich etz die formel von dir noch hab... HÄÄÄÄÄÄH muss ich ja so umformen, dass ich noch eine variable hab..aber geht ja net... warum sollte ich mir die nochmal gut anschauen? Willsts net gleich verraten? *fg* ach mensch..so ne blöde Aufgabe... des wird was *g* |
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| 26.02.2007, 19:04 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, leider ist deine Nebenbedingung nicht ganz richtig
Ich habe b als Breite und a als Höhe genommen, sodass b=2r. Das solltest du bei deiner Formel berücksichtigen! Und statt b schreibst du dann auch 2r, bzw. r... Und wenn du DAS hast, dann formst du die Nebenbedingung mal nach einer Variable um (meinetwegen nach a). Könntest du das machen? |
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| 26.02.2007, 19:07 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das nicht eigentlich egal??? o-O Klar, ich versuchs mal!! Meine Lösung kann ich hier ja dann reinschreiben, und du kannst mich wieder verbessern :-) Bin für jede Hilfe dankbar :-) |
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| 26.02.2007, 19:13 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sicher ist es egal, nur weil ich zuerst der Meinung war, dass a deine Höhe wäre, habe ich ebenfalls a als Höhe genommen und b als Breite des Tunnelquerschnittes. Und auf irgendeine Bezeichnung sollten wir uns schon einigen - sonst gibt's nur Missverständnisse. Klar, poste deine Rechnungen! Gruß MI |
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| 26.02.2007, 19:14 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok also hab jetzt mal folgendermaßen gerechnet: U=b+2a+b*Pi U=2r+2a+2r*Pi /-2a -2a=2r+2r*Pi a=-2r-2r*Pi dann einsetzten: f(x,r)=(-2r-2r*Pi)*2r+0,5*Pi*r² (aber da kommt was komisches raus^^) =-8r³*Pi + 0,5*Pi*r² stimmt das?? |
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| 26.02.2007, 19:22 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also zuerst zur Nebenbedingung: Ich glaube du hast vergessen, dass ja der HALBE Umfang ausreicht. Dann hast du den Umfang GEGEBEN! 50m Das musst du also noch ändern. Ansonsten kann es gut sein, dass so etwas ähnliches herauskommt... Gruß MI |
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| 26.02.2007, 19:35 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt. Dann sieht nun meine Rechnung so aus: 50= 2r+2a+2r*Pi /2 25= r+a+r*Pi a=25-r²*Pi Und dieses a setze ich dann in deine Formel ein, oder? Hab das jetzt einfach mal gemacht und dabei kommt folgendes raus: f(x,r)=a*2r+0,5*Pi*r² =(25-r²*Pi)*2r+0,5*Pi*r² = 50r-2r³+0,5*Pi*r" Aber des sieht irgendwie schon falsch aus... *g* |
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| 26.02.2007, 19:38 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Umformungen kann ich nicht ganz nachvollziehen... Einfach durch 2 und weg ist das /2 ? Und dann bringst du a rüber und hast plötzlich ein r^2? Da stimmt irgendwas nicht... |
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| 26.02.2007, 19:53 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh man stimmt ja..vor allem hätte ja dann das Pi auch durch 2 geteilt werden müssen.
50=2r+2a+2r*Pi ja wie geht das dann? Wenn ich durch 2 mach, gehts ja auch net... durch a klappt auch net.... durch 2r geht wegen dem PI net... !? |
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| 26.02.2007, 20:37 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nebenbedingung: Mit den Grundrechenarten hast du's scheinbar nicht so
Jetzt für alle a in die Hauptbedingung einsetzen und die Extremstellen ausrechnen. Außerdem meine Frage: Welche Werte würdest du für r minimal und maximal einsetzen? Das sind dann die Grenzen deiner Definitionsmenge. Die musst du auch noch untersuchen! Gruß MI |
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| 26.02.2007, 20:51 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke..auf das wäre ich glaub ich nemmer gekommen.... Das mit den Grenzen der Definitionsmenge versuch ich lieber morgen. Mir raucht jetzt schon der Kopf 
Ich versuch das dann morgen mal und mail es hier wieder rein... |
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| 27.02.2007, 16:57 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also gut..neuer Tag..neuer Versuch ;-) hab jetzt also diese Formel in die Hauptbedingung [ f(x,r)=a*2r+0,5*Pi*r² ] eingesetzt und bekomm folgendes raus: 50-2r-r*Pi/2 * 2r+0,5*Pi*r² =50r-2r²-r²*Pi*r+0,5*Pi*r² Das sieht auch net richrig aus!? |
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| 27.02.2007, 18:33 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Irgendwie hast du scheinbar Probleme mit dem Rechnen
. Das solltest du UNBEDINGT trainieren!Daraus folgt: Letzteres ist doch ne annehmbare Funktion, oder? Wobei ich natürlich nicht weiß, ob ich mich nicht auch verrechnet habe, kann natürlich sein
.Gruß MI |
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| 27.02.2007, 19:12 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das glaub ich auch..aber ich weiß halt net, woran genau es liegt und wie ich das aufbessern kann! Dass ich grad so viele auch eigentlich einfache Fragen stell, liegt aber auch daran, dass ich wirklich sicher gehen will, dass es stimmt (weil ich es ja meinen Mitschülern erklären muss o_O) Ja, das sieht schon besser aus :-) Und das ist jetzt die Zielfunktion, oder? Dann kommen wir wohl jetzt zum Definitionsbereich!? Dabei muss ich doch die Werte herausfinden, dass =0 herauskommt, gell!? |
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| 28.02.2007, 19:09 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hilfe..ich weiß net weiter....!? |
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| 28.02.2007, 20:05 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist die Zielfunktion, bzw. sollte sie sein. Definitionsbereich kommt jetzt dran. Richtig. Welche Werte macht es Sinn einzusetzen? Wie ist es zum Beispiel mit -5? Oder 60000? Wenn du den Def-Bereich bestimmt hast, dann versuche den Hochpunkt zu bestimmen (relativer Hochpunkt). Gruß MI |
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| 01.03.2007, 13:07 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wenn ich -5 einsetzte kommt dieses hier raus: -639,25=-639,25 die 60.000 hab ich gar nicht eingetippt...da kommen ja tausend Nuller mit rein^^ Ich würd mal sagen, der Definitionsbereich liegt bei 0 und -5 oder? |
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| 01.03.2007, 13:59 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja... Du setzt ja SeitenLÄNGEN ein. Wenn du also 0 einsetzt, dann hättest du eine Seitenlänge von Null. Das ist ja eigentlich ganz in Ordnung. Könnte ja sein. Die Grenze würde ich also auch wählen. Negative Seitenlängen? Ich glaube nicht. Und nach oben? Naja der Umfang ist 50m, also kann eine Seite ja maximal 50m lang sein... Daher würde ich die Grenzen [0;50] wählen. Du kannst aber natürlich auch über R hantieren, nur musst du dann aufpassen, ob es nicht auch Lösungen gibt, die keine sind. Deshalb sollte man immer überlegen, was denn überhaupt praktisch SINN macht! Gruß MI |
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| 01.03.2007, 17:16 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, also dann liegt mein Definitionsbereich bei [0/50] (kannst du mir mal bitte erklären, worauf man da achten muss, bei den zahlen, die man einsetzt? o_O) Meinst du mit "relativer Hochpunkt" das relavtive Max./Min.?? Sollte ich davor nicht noch Ableiten?? |
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| 01.03.2007, 18:24 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, du sollst halt das relative Maximum berechnen - sprich den Hochpunkt der Funktion, bzw. das "Maximum". Ich persönlich mag aber "Hochpunkt" lieber, da man sich das besser vorstellen kann. Ableiten könnte also dazu gehören
.Zum Def-Bereich: Du hast hier ein "reales" Problem. Du möchtest einen Tunnel bauen (war doch ein Tunnel
) mit einer rechteckigen Öffnung mit einem Halbkreis oben auf. Davon soll die Fläche maximal werden, der Umfang aber höchstens 50 Meter betragen.Was benutzt du, um die Fläche auszurechnen? Ja wohl bestimmte Seitenlängen (logischerweise). Wäre es logisch, dass eine Seite eine negative Länge hat? Ich glaube nicht. Wäre es logisch, dass eine Seite 100 m lang ist, wenn der Gesamtumfang nur 50m betragen soll? Ich glaube kaum! Dann müssten die anderen Seiten ja eine negative Länge haben - und das kann ich mir irgendwie nicht vorstellen
.Theoretisch kannst du sogar sagen: Da der Umgang des ganzen gleich 2a mal... ist, würden sogar schon die Grenzen [0;25] reichen, da bei 25 Meter Seitenlänge der Radius ZWANGSLÄUFIG gleich 0 sein würde. Mit 50m gehst du da auf Nummer sicher. Die ganze Def-Bereichsüberlegung ist also nur ein Nachdenken "Was ist denn überhaupt LOGISCH?". Gruß MI |
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| 02.03.2007, 19:09 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah... alles klar..jetzt hab ich des mit dem Definitionsbereich endlich mal kapiert *freu* =>DANKE ;-) Und wenn ich jetzt die Zielfunktion ableite dann kommt folgendes dabei raus: A´=100-8r³-2P*r+1Pi*r = 100-8r+1Pi*r !? |
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| 02.03.2007, 19:29 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das r^3 ist wohl nur ein Tippfehler, oder? Dann ist da noch ein Fehler drinne: Das Vorzeichen von pi mal r muss negativ sein! So würde ich das sehen: Ansonsten würde ich dir schon zustimmen. Es könnte sogar ein ganz ordentliches Ergebnis dabei herauskommen, wenn ich mir das so anschaue. Gruß MI |
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| 05.03.2007, 18:57 | Angels_Kiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar..jetzt hab ich die 1. Ableitung..die muss ich jetzt =0 setzen, stimmts?? also so: 0=100-8r-2\pi \cdot r+1\pi\cdot r = 100-8r-\pi \cdot r[/latex] => 0=100-8r-1pi*r=100-8r-pi*r 0=2*pi*r und das ist dann ein Maximum oder? |
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