Kurvendiskussion: Was ersehe ich aus der Funktionsgleichung für die Skizze?

26.02.2007, 17:56

w³

Kurvendiskussion: Was ersehe ich aus der Funktionsgleichung für die Skizze?

Hallo Gemeinde Augenzwinkern

Bevor man von zB. einer Funktion 3. Grades beginnt die Nullstellen zu errechnen, Ableitungen zu erstellen und den Rest der Kurvendiskussion zu berechnen, kann man ja schonmal eine Skizze von dieser Funktion machen (Anhang).

$\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{1}{8}x^3 + \frac{3}{16}x^2 + \frac{9}{4}x - 2 \end{eqnarray*}$

Was könnt ihr alles daraus sehen?

Also was ich schon weiß ist,

x³: ungerader Exponent -> minimal 1 Nullstelle (z.B. wären es bei einem Exponenten von 4 minimal 0 Nullstellen),
x³: Exponent = drei, also max. drei Nullstellen,
-1/8x³: negativer Koeffizient -> nicht wie normale S-Kurve, sondern verdreht, von oben-links beginnend nach unten-rechts ablaufend,
-1/8x³ + 3/16x²: ungerade und gerade Exponenten zusammen -> nicht symmetrisch (punkt-, achsensymmetrisch!?),
Konstante -2: Kurve schneidet Ordinate bei P(0/-2).

Was lest ihr noch alleine aus der Funktionsgleichung?
Kann auch jemand meine bisher schon gesammelten Feststellungen (1,2,4) kurz begründen, damit ich die auch noch verstehe, wäre echt toll smile

Grüße

26.02.2007, 18:05

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RE: Kurvendiskussion: Was ersehe ich aus der Funktionsgleichung für die Skizze?

Zitat:

Original von w³

x³: ungerader Exponent -> minimal 1 Nullstelle (z.B. wären es bei einem Exponenten von 4 minimal 0 Nullstellen),
x³: Exponent = drei, also max. drei Nullstellen,
-1/8x³: negativer Koeffizient -> nicht wie normale S-Kurve, sondern verdreht, von oben-links beginnend nach unten-rechts ablaufend,
-1/8x³ + 3/16x²: ungerade und gerade Exponenten zusammen -> nicht symmetrisch (punkt-, achsensymmetrisch!?),
Konstante -2: Kurve schneidet Ordinate bei P(0/-2).

Zu 1 und 2 zeichne dir doch ein paar Graphen (oder lass sie dir zeichnen). Außerdem überlege, wie du die Nullstellen errechnest.
Was weißt du über Linearfaktoren?

Zu 4: Überlege einmal, wann x-Achsen und wann Punktsymmetrie auftritt - hast du eine allgemeine Erklärung?

Ansonsten kannst du mit der Überlegung der Nullstellen auch noch folgendes sehen:

Naja, die Funktion wird auch Extremstellen haben. Entweder keine (und einen Sattelpunkt) oder zwei. (Kann man aus der Überlegung des Grades der Ableitung herleiten)
Außerdem wird sie einen Wendepunkt haben. (Nullstellenüberlegung am Grad der zweiten Ableitung)

So viel noch von mir!
Gruß
MI

27.02.2007, 19:45

w³

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RE: Kurvendiskussion: Was ersehe ich aus der Funktionsgleichung für die Skizze?
Zuerstmal danke für deine Antwort!

Zitat:

Original von MI

Zu 1 und 2 zeichne dir doch ein paar Graphen (oder lass sie dir zeichnen). Außerdem überlege, wie du die Nullstellen errechnest.
Was weißt du über Linearfaktoren?

Nach dem Erstellenlassen der Graphen ist es jetzt eindeutig; zB. bei einer Funktion 4. Grades (Form W) braucht der Graph nicht die x-Achse zu schneiden (mit Konstante >=1).

Linearfaktoren: y = 3x - 3 = 3(x-1) = 0 Hier sehen wir direkt 1 Nullstelle (nämlich 1, weil dann die Gleichung 0 ist).

Worauf wolltest du konkreter hinaus?

Zitat:

Zu 4: Überlege einmal, wann x-Achsen und wann Punktsymmetrie auftritt - hast du eine allgemeine Erklärung?

Punktsymmetrie: zB. bei $\begin{eqnarray*} x^3 - 2 * x ^ 1 + 3 \end{eqnarray*}$ , hier wird nur 1 mal die x-Achse geschnitten, es kann garnicht y-Achsensymmetrisch sein (richtige Begründung??)

Achsensymmetrie: zB. bei $\begin{eqnarray*} x^4 - 2 * x ^ 2 - 3 \end{eqnarray*}$ , dieser Graph besitzt 2 Nullstellen, daher ist er zur Ordinatenachse achsensymmetrisch und weil sein Wendepunkt x=0 ist (korrekte Begründung?)

Grüße

28.02.2007, 15:03

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Die Anzahl der möglichen Linearfaktoren ist begrenzt. Wenn du eine Funktion 4. Grades hast, so kannst du MAXIMAL vier Linearfaktoren haben. Das heißt: Maximal vier Nullstellen, weil das Ausmultiplizieren der Linearfaktoren sonst eine Funktion höheren Grades ergeben würde!

Das andere, was du gesagt hast, ist aber auch nicht falsch und ganz gut.

Zur Symmetrie:

Symmetrie zur y-Achse: $\begin{eqnarray*} f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$
Symmetrie zum Ursprung (Punkt): $\begin{eqnarray*} f(x)=-f(-x) \end{eqnarray*}$

Quasi richtig - was siehst du an den Potenzen? Sind ALLE Potzenzen gerade, hast du eine Achsensymmetrie zur y-Achse (setzt du -x ein, verschwindet es durch die Potenzen). Sind ALLE Ungerade UND hast du keine y-Achsenverschiebung ändern sich beim Einsetzen von -x ALLE Vorzeichen. Punktsymmetrisch zum Ursprung.

Wenn du auch noch andere Symmetrien brauchst, sag Bescheid, das sind aber die Gängigsten. Es könnte aber sein, da du ein Beispiel, das Punktsymmetrisch und nicht zum Ursprung ist angibst....

Gruß
MI

01.03.2007, 21:38

w³

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Zitat:

Original von MI
Die Anzahl der möglichen Linearfaktoren ist begrenzt. Wenn du eine Funktion 4. Grades hast, so kannst du MAXIMAL vier Linearfaktoren haben. Das heißt: Maximal vier Nullstellen, weil das Ausmultiplizieren der Linearfaktoren sonst eine Funktion höheren Grades ergeben würde!

Und die Linearfaktoren erhalten wir durch Polynomdivison, nachdem wir 1 Nullstelle geraten haben oder mit Newtonscher Annäherung oder eben Wertetabelle bzw. Horner erhalten haben. Richtig? Kennst du noch eine Möglichkeit, um Nullstellen zu bekommen? mehr haben wir im Unterricht noch nicht besprochen.

So langsam verstehe ich es.. smile

Zitat:

Zur Symmetrie:

Symmetrie zur y-Achse: $\begin{eqnarray*} f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$
Symmetrie zum Ursprung (Punkt): $\begin{eqnarray*} f(x)=-f(-x) \end{eqnarray*}$

Quasi richtig - was siehst du an den Potenzen? Sind ALLE Potzenzen gerade, hast du eine Achsensymmetrie zur y-Achse (setzt du -x ein, verschwindet es durch die Potenzen). Sind ALLE Ungerade UND hast du keine y-Achsenverschiebung ändern sich beim Einsetzen von -x ALLE Vorzeichen. Punktsymmetrisch zum Ursprung.

Interessant finde ich folgendes: Wenn die Funktion 2 Nullstellen hat, muss sie 2-1 bzw. n-1 Extrema (dazwischen) haben. Kennst du noch weitere solcher Bedingungen? Frage mich, welcher Regel die Wendepunkte unterliegen, ob sie einen quantitativen Zusammenhang zu Nullstellen oder Extremwerten haben. Sonst hau ich am WE einfach mal ein paar Funktionen ins Programm und schaue mal. Augenzwinkern

Zitat:

Wenn du auch noch andere Symmetrien brauchst, sag Bescheid, das sind aber die Gängigsten. Es könnte aber sein, da du ein Beispiel, das Punktsymmetrisch und nicht zum Ursprung ist angibst....

Habe heute gelesen, dass eine Funktion 3. Grades sogar eine Punktsymmetrie zum Wendepunkt aufweist! Also sonst kannst du ruhig schreiben wenn du Zeit hast, ich schaue es mir dann an, allerdings bin ich noooch kein Mathe-Ass Augenzwinkern

Gruß

02.03.2007, 13:22

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Zitat:

Original von w³

Und die Linearfaktoren erhalten wir durch Polynomdivison, nachdem wir 1 Nullstelle geraten haben oder mit Newtonscher Annäherung oder eben Wertetabelle bzw. Horner erhalten haben. Richtig? Kennst du noch eine Möglichkeit, um Nullstellen zu bekommen? mehr haben wir im Unterricht noch nicht besprochen.

So langsam verstehe ich es.. smile

Eine andere Art wäre p/q-Formel, Mitternachtsformel (wenn du eine quadratische Funktion hast). Da hast du ja Nullstellen, und jede Nullstelle kannst du ja als Linearfaktor schreiben: x=-1 wäre dann der Linearfaktor (x+1). Und da ist es einleuchtend, dass du jede Funktion als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben kannst, denn wenn du eine Nullstelle einsetzt, wird ja mindestens ein Linearfaktor null. Und wenn du dir mal eine Funktion mit ihren Linearfaktoren aufschreibst, so kannst du herausfinden, wie viele Nullstellen eine Funktion maximal haben kann.
Beispiel: f(x)=(x-a)(x-b). Diese Funktion hat zwei Linearfaktoren; zwei Nullstellen. Und wenn du sie ausmultiplizierst, dann hast du IN JEDEM FALL eine quadratische Funktion. Eine Funktion mit einem niedrigerem Grad (linear) KANN keine zwei Nullstellen haben.
Allerdings könntest du auch eine Funktion g(x)=(x-b)(x-b). Diese Funktion hat nur eine Nullstelle, ist aber eine quadratische Funktion.
Oder eine Funktion h(x)=x^2+x+10 die keine Nullstelle hat und deshalb auch keine Linearfaktoren.

Das einmal als Weiterdenken deines Gedankens!

Andere Methoden zur Berechnung von Nullstellen (Linearfaktoren) wären z.B. die cardanischen Formeln. Die kommen allerdings nicht im Unterricht dran.

Zitat:

Bei ganzrationalen Funktionen (die wir hier betrachten; also Polynomfunktionen) ist das richtig Freude

. Hat eine Funktion n Nullstellen, so hat sie auf jeden Fall n-1 Extrema. Es könnten natürlich mehr sein. Hier ein Beispiel

Wenn du das ausmultiplizierst hast

Und du hast auch recht: Es GIBT einen Quantitativen Zusammenhang zwischen Nullstellen und Wendestellen. Schau dir zum Beispiel die Funktion oben an: Wo liegen Wendestellen? Gibt es eine Regel, wo Wendestellen liegen MÜSSEN?

Fassen wir zusammen. Eine Funktion n-ten Grades hat MAXIMAL n Nullstellen. Gibt es weitere Beschränkungen für Nullstellen? Kann eine kubische Funktion beispielsweise keine Nullstellen haben? Wie ist das bei einer quadratischen?
Eine Funktion n-ten Grades hat MAXIMAL n-1 Extrema. Hat sie b Nullstellen, so hat sie MINIMAL b-1 Extrema. b muss aber hierbei MINDESTENS 2 betragen. Ansonsten könnten wir ja auch eine lineare Funktion haben. Gibt es hier weitere Bedingungen über die Anzahl? Kann eine kubische Funktion zum Beispiel nur ein Extrema haben - eine quadratische zwei?
Und jetzt fehlen noch die Wendepunkte.

Zitat:

Gruß

Das ist richtig. Und wenn die Funktion nicht verschoben ist, dann liegt dieser Wendepunkt bei x=0.
Die beiden von mir beschriebenen Symmetrien sind insofern die Gängigsten, als das man sie ganz einfach durch einsetzen von -x testen kann. Alle anderen wären etwas komplizierter:
Du müsstest eine Achse (oder einen Punkt finden) bei dem du glaubst, dass eine Symmetrie vorliegt. Graphisch kann man so etwas meistens sehen.
Nehmen wir an, der Punkt liegt ist P(a|b). Jetzt wäre es am einfachsten, den Graph einfach um diesen Punkt zu verschieben, sodass er auf dem Koordinatenursprung liegt (bzw. das Koordinatensystem auf diesen Punkt zu schieben). Wenn man das gemacht hat, kann man durch einsetzen von -x einfach die Symmetrie testen.
Verstehst du, was ich meine?

Wenn du Lust hast, kannst du einmal ein Beispiel nehmen (wie wär's mit deinem ersten?) und die Verschiebung durchführen!

Gruß
MI

PS: Und wie immer gilt: Am Besten zeichnet man ein paar Funktionen, dann kann man alles am besten SEHEN!

04.03.2007, 21:58

w³

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Zitat:

Original von MI
Und du hast auch recht: Es GIBT einen Quantitativen Zusammenhang zwischen Nullstellen und Wendestellen. Schau dir zum Beispiel die Funktion oben an: Wo liegen Wendestellen? Gibt es eine Regel, wo Wendestellen liegen MÜSSEN?

Die Wendepunkte müssten dann in die Anzahl der Extrema-1 sein, wobei mindestens 2 Extrema gegeben sein müssten? Das haben wir doch bei ungeraden Potenzen > 1, richtig?

Zitat:

Habe mal als Beispiel ein einfacheres genommen: $\begin{eqnarray*} f(x) = 2 \cdot x^3 - 3 \cdot x+1 \end{eqnarray*}$

verschieben in den Ursprung $\begin{eqnarray*} f(x) = 2 \cdot x^3 - 3 \cdot x \end{eqnarray*}$ :

Punktsymmetrie: $\begin{eqnarray*} f(x) = -f(-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x=0,8) = -1,3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -f(-0,8) = (-1)\cdot(1,3)=y=-1,3 \end{eqnarray*}$ Teufel

Keine Punktsymmetrie! Richtig wiedergegeben?

Mensch super dass du dir so ne Mühe hier machst Willkommen

05.03.2007, 14:57

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Zitat:

Original von w³

Zitat:

Die Wendepunkte müssten dann in die Anzahl der Extrema-1 sein, wobei mindestens 2 Extrema gegeben sein müssten? Das haben wir doch bei ungeraden Potenzen > 1, richtig?

Richtig. Zwischen zwei Extrema liegt immer ein Wendepunkt. Also Anzahl der Wendepunkte - 1. Bei anderen Funktionen als Polynomfunktionen können auch noch Extrema bei anderen Stellen auftreten, dies ist aber hier ja nicht der Fall (nur so als weitergehender Gedanke).

Bei Ungeraden Potenzen größer 1 ist dies MEIST gegeben. Bei geraden Potenzen größer 2 hast du aber auch meist mehrere Wendepunkte - maximal aber n-1, wenn n die Anzahl der Extrema ist. Da hast du völlig Recht.

Fassen wir zusammen:
Funktionen n-ten Grades, wobei n GERADE ist:
- mindestens 0 Nullstellen, höchstens n Nullstellen
- mindestens 1 Extremum, höchstens n-1 Extrema
- mindestens 0 Wendestellen, höchstens n-2 Wendestellen
- Wenn symmetrisch, dann achsensymmetrisch

Funktionen n-ten Grades, wobei n UNGERADE ist:
- mindestens 1 Nullstelle, höchstens n Nullstellen
- mindestens 0 Extrema, höchstens n-1 Extrema
- mindestens 1 Wendestelle (bei f(x)=x^3 z.B. im Ursprung, der Sattelpunkt), höchstens n-2 Extrema
- Wenn symmetrisch, dann punktsymmetrisch

Zitat:

Punktsymmetrie: $\begin{eqnarray*} f(x) = -f(-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x=0,8) = -1,3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -f(-0,8) = (-1)\cdot(1,3)=y=-1,3 \end{eqnarray*}$ Teufel

Keine Punktsymmetrie! Richtig wiedergegeben?

Naja, wenn $\begin{eqnarray*} f(x) = -f(-x) \end{eqnarray*}$ GILT, dann HAST du eine Punktsymmetrie! Und das gilt doch, oder ist $\begin{eqnarray*} -1,3 \neq -1,3 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

. Also ja, du hättest eine Punktsymmetrie bezüglich des Punktes P(0;1).

Für die normale Punktsymmetrie zum Ursprung aber gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) \neq -f(-x) \end{eqnarray*}$

Aber jetzt zum Hauptpunkt: Eigentlich ist das da oben kein Beweis. Den musst du anfertigen, indem du ein BELIEBIGES x einsetzt.
Also folgendermaßen:

Wenn

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -f(-x) \end{eqnarray*}$

, dann liegt eine Punktsymmetrie vor.
Es ist: $\begin{eqnarray*} f(x)=2\cdot x^3 - 3 \cdot x \end{eqnarray*}$
Für -x folgt: $\begin{eqnarray*} f(-x)=2\cdot (-x)^3 - 3 \cdot (-x)=-2 \cdot x^3 + 3 \cdot x=-(2\cdot x^3 - 3 \cdot x)=-f(x) \end{eqnarray*}$

Erkennst du, was ich meine?

Zitat:

Mensch super dass du dir so ne Mühe hier machst Willkommen

Da du das ja scheinbar auch wirklich verstehen willst, mach ich mir die Mühe doch gerne smile

.

Gruß
MI

EDIT: Aber wie gesagt: Wir haben in der Schule nur Achsensymmetrie bzgl. der y-Achse und Punktsymmetrie bzgl. des Ursprungs behandelt. Also ist fraglich, ob du das andere brauchst, aber interessant ist's trotzdem Augenzwinkern

.

Außerdem noch eine Frage: Wir haben die Extrema, Wendestellen, etc. jetzt graphisch erklärt (durchaus eine legitime und richtige Erklärung. Außerdem ist's der schönere Ansatz). Jetzt die Frage: Könntest du deine Beobachtungen auch mathematisch belegen?

01.04.2007, 14:08

w³

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Entschuldige meine viel zu späte Antwort, ich war im Prüfungsstress und hatte seitdem nicht mehr ins Forum geschaut geschockt

Zitat:

Original von MI
Fassen wir zusammen:
Funktionen n-ten Grades, wobei n GERADE ist:
- mindestens 0 Nullstellen, höchstens n Nullstellen
- mindestens 1 Extremum, höchstens n-1 Extrema
- mindestens 0 Wendestellen, höchstens n-2 Wendestellen
- Wenn symmetrisch, dann achsensymmetrisch

Funktionen n-ten Grades, wobei n UNGERADE ist:
- mindestens 1 Nullstelle, höchstens n Nullstellen
- mindestens 0 Extrema, höchstens n-1 Extrema
- mindestens 1 Wendestelle (bei f(x)=x^3 z.B. im Ursprung, der Sattelpunkt), höchstens n-2 Extrema
- Wenn symmetrisch, dann punktsymmetrisch

Jup alles klar gute Zusammenfassung!

Zitat:

Original von MI
Für die normale Punktsymmetrie zum Ursprung aber gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) \neq -f(-x) \end{eqnarray*}$

Aber jetzt zum Hauptpunkt: Eigentlich ist das da oben kein Beweis. Den musst du anfertigen, indem du ein BELIEBIGES x einsetzt.
Also folgendermaßen:

Wenn

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -f(-x) \end{eqnarray*}$

Ja klar, das hätte ich verallgemeindern müssen. Nur bei deiner Beweisführung klammerst du hierbei $\begin{eqnarray*} -(2\cdot x^3 - 3 \cdot x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ ja (-1) aus. Warum, das bleibt mir verborgen... aber ich sehe, dass wenn $\begin{eqnarray*} f(-x) = -2 \cdot x^3 + 3 \cdot x \end{eqnarray*}$ , ist dementsprechend $\begin{eqnarray*} -f(-x) = (-1)\cdot-2 \cdot x^3 + 3 \cdot x = 2\cdot x^3 - 3x = f(x) \end{eqnarray*}$ ist, ja?

Zitat:

Original von MI
Außerdem noch eine Frage: Wir haben die Extrema, Wendestellen, etc. jetzt graphisch erklärt (durchaus eine legitime und richtige Erklärung. Außerdem ist's der schönere Ansatz). Jetzt die Frage: Könntest du deine Beobachtungen auch mathematisch belegen?

Wie würdest du grob gesagt dabei rangehen? Bekannt sind ja die Bedingungen für Hochpunkt/Tiefpunkt/Sattelpunkt und die oben von dir geschriebenen Bedingungen.

Gruß

01.04.2007, 15:03

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Kein Problem, du kannst antworten, wann du willst.

Zum Thema:
Die -1 habe ich ausgeklammert, damit deutlich ist, dass das in der Klammer tatsächlich die Gleichung für f(x) ist. Wenn sie das NICHT wäre, könnte ich daraus ja nich f(x) machen und dementsprechend nichts über die Punktsymmetrie aussagen.

$\begin{eqnarray*} -f(-x) = (-1)\cdot-2 \cdot x^3 + 3 \cdot x = 2\cdot x^3 - 3 = f(x) \end{eqnarray*}$
So stimmt's. So kann man's machen, oder eben man geht über diese Gleichung:
$\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ Wie du erkennst, sind die beiden Gleichungen äquivalent (lediglich das Minus ist auf der anderen Seite). Und um letzteres zu beweisen, musst du halt ein -1 ausklammern und schauen, ob in der Klammer dann f(x) steht.
--------------------------------------------------------

Zum zweiten Punkt:
Gemeint ist folgendes. Du hast gelernt, dass eine Gleichung zweiten Grades (der Form ax^2+bx+c=0) mit der p/q-Formel keine, eine oder zwei Lösungen haben kann. Wahrscheinlich weißt du auch, dass eine Gleichung dritten Grades drei Lösungen haben kann (mathematisch errechenbar) und so geht es ja weiter. Wenn du eine Gleichung in ihre Linearfaktoren zerlegst, so kannst du maximal so viele Linearfaktoren haben, wie der Grad der Gleichung ist (ich glaube, dass hatten wir oben schon mal).

Nun ist die Zahl der Extrempunkte abhängig von der Zahl der Nullstellen der Ableitung. Beim ableiten einer ganzrationalen Funktion wird aber der Grad der Funktion IMMER um 1 verringert - daher kann man an den Formeln der Ableitung sehen, dass ein Funktion n-ten Grades maximal n Nullstellen, n-1 Extrema und n-2 Wendestellen haben kann, weil ihre erste Ableitung n-1ten Grades und ihre zweite n-2ten Grades ist.
Das meinte ich mit dem zweiten Weg.
Der graphische ist aber meiner Meinung nach einfacher zu verstehen weil anschaulicher.

Gruß
MI

01.04.2007, 21:38

w³

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Zitat:

Original von MI
Kein Problem, du kannst antworten, wann du willst.

Klasse, dass du nochmal hierauf antwortest! smile

Zitat:

Zum Thema:
Die -1 habe ich ausgeklammert, damit deutlich ist, dass das in der Klammer tatsächlich die Gleichung für f(x) ist. Wenn sie das NICHT wäre, könnte ich daraus ja nich f(x) machen und dementsprechend nichts über die Punktsymmetrie aussagen.

$\begin{eqnarray*} -f(-x) = (-1)\cdot-2 \cdot x^3 + 3 \cdot x = 2\cdot x^3 - 3 = f(x) \end{eqnarray*}$
So stimmt's. So kann man's machen, oder eben man geht über diese Gleichung:
$\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ Wie du erkennst, sind die beiden Gleichungen äquivalent (lediglich das Minus ist auf der anderen Seite). Und um letzteres zu beweisen, musst du halt ein -1 ausklammern und schauen, ob in der Klammer dann f(x) steht.
--------------------------------------------------------

ahhhhh, es IST logisch!

Zitat:

Zum zweiten Punkt:
Gemeint ist folgendes. Du hast gelernt, dass eine Gleichung zweiten Grades (der Form ax^2+bx+c=0) mit der p/q-Formel keine, eine oder zwei Lösungen haben kann. Wahrscheinlich weißt du auch, dass eine Gleichung dritten Grades drei Lösungen haben kann (mathematisch errechenbar) und so geht es ja weiter. Wenn du eine Gleichung in ihre Linearfaktoren zerlegst, so kannst du maximal so viele Linearfaktoren haben, wie der Grad der Gleichung ist (ich glaube, dass hatten wir oben schon mal).

Nun ist die Zahl der Extrempunkte abhängig von der Zahl der Nullstellen der Ableitung. Beim ableiten einer ganzrationalen Funktion wird aber der Grad der Funktion IMMER um 1 verringert - daher kann man an den Formeln der Ableitung sehen, dass ein Funktion n-ten Grades maximal n Nullstellen, n-1 Extrema und n-2 Wendestellen haben kann, weil ihre erste Ableitung n-1ten Grades und ihre zweite n-2ten Grades ist.
Das meinte ich mit dem zweiten Weg.
Der graphische ist aber meiner Meinung nach einfacher zu verstehen weil anschaulicher.

Mensch das hat mir zum Verständnis sehr weitergeholfen! Das muss man erst mal so sehen können!

Danke nochmals.

Gruß

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