Entwicklung in Laurentreihe

23.06.2013, 16:35

Emsland

Entwicklung in Laurentreihe

Meine Frage:
Entwickle in eine Laurentreihe, die in einer Umgebung des Nullpunkts konvergiert und bestimmen Sie das Konvergenzgebiet:

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1+z}{z^2-z^3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hallo,

erstmal habe ich eine Polynomdivision und eine Partialbruchzerlegung gemacht, das ergab

$\begin{eqnarray*} f(z)=-\frac{2}{z-1}+\frac{2}{z}+\frac{1}{z^2} \end{eqnarray*}$ .

Man hat eine Singularität in 0 und eine in 1.
Da man in einer Umgebung von 0 entwickeln soll, müsste das Konvergenzgebiet der Laurentreihe also $\begin{eqnarray*} \left\{z\in\mathbb{C}: 0 < \lvert z\rvert < 1\right\} \end{eqnarray*}$ sein.

Wenn das so stimmt, müsste ich jetzt natürlich noch die Entwicklung an sich bestimmen. Dazu würde ich mir jeden Summanden einzeln vornehmen und irgendwie versuchen, auf bekannte Reihen zurückzugreifen.
Für den ersten Summanden lacht mich die geometrische Reihe an, soll heißen

$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{z-1}=2\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n \end{eqnarray*}$ .

Aber für die anderen beiden Summanden ist mir noch nichts Gescheites eingefallen...

23.06.2013, 17:14

Emsland

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Leider kann ich meinen Eröffnungsbeitrag nicht mehr editieren, weil schon 15 Minuten seit Erstellen vorbei sind.

Mir ist nämlich noch was zum zweiten Summanden eingefallen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}=2\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-1)^n \end{eqnarray*}$

23.06.2013, 17:58

Tom92

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Hi,

du warst mit deinem ersten Beitrag schon so gut wie fertig.

Welche allgemeine Form hat eine Laurentreihe um 0? Fällt dir was auf?

Wenn du jetzt noch den Konvergenzradius der geometrischen Reihe kennst, bist du fertig.

Gruß Tom

23.06.2013, 18:17

Emsland

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Zitat:

Original von Tom92
Welche allgemeine Form hat eine Laurentreihe um 0?

Die allgemeine Form einer Laurentreihe um den Entwicklungspunkt 0 ist

$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}a_nz^n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Tom92
Fällt dir was auf?

Leider nein.

Zitat:

Original von Tom92
Wenn du jetzt noch den Konvergenzradius der geometrischen Reihe kennst, bist du fertig.

Der Konvergenzradius der geometrischen Reihe ist 1.

Mir fehlen noch Schlussfolgerungen.

23.06.2013, 18:36

Emsland

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Achso, ich habe im ersten Beitrag den ersten Summanden als eine geometrische Reihe geschrieben, die also Konvergenzradius 1 hat.

Ist damit nicht schon gezeigt, dass die Laurentreihe nicht in $\begin{eqnarray*} \left\{z\in\mathbb{C}: 0<\lvert z\rvert < 1\right\} \end{eqnarray*}$ konvergieren kann?

Denn dazu müssen ja ALLE DREI Summanden dies tun und der erste konvergiert auch auf dem Rand der Einheitskugel um 0.

Heißt das, dass es so eine gewünschte Laurententwicklung gar nicht gibt?

23.06.2013, 19:01

Tom92

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$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}a_nz^n \end{eqnarray*}$

also leger geschrieben:

$\begin{eqnarray*} ... +\frac{a_{-2}}{z^2}+\frac{a_{-1}}{z}+a_0+a_1 z+a_2z^2 ... \end{eqnarray*}$ .

Fällt dir jetzt was auf?

Und außerdem:

$\begin{eqnarray*} \left\{z\in\mathbb{C}: 0<\lvert z\rvert < 1\right\} \end{eqnarray*}$

ist eine Teilmenge von

$\begin{eqnarray*} \left\{z\in\mathbb{C}: \lvert z\rvert < 1\right\} \end{eqnarray*}$

und dort konvergiert die geometrische Reihe. Warum sollte daraus folgen, dass die Laurentreihe im punktierten Kreis nicht konvergieren kann??

23.06.2013, 19:35

Emsland

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Edit:

Achso, Du meinst vielleicht, ich sollte einmal die allgemeine Darstellung

$\begin{eqnarray*} f(z)=\hdots +\frac{a_{-2}}{z^2}+\frac{a_{-1}}{z}+a_0+a_1z+a_2z^2+\hdots \end{eqnarray*}$

vergleichen mit der im ersten Beitrag ermittelten Darstellung

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z^2}+\frac{2}{z}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}2z^n \end{eqnarray*}$ .

Dann habe ich die Laurentreihenentwicklung schon gefunden, nämlich

$\begin{eqnarray*} a_{-2}=1, a_{-1}=2, a_{-n}=0~\forall~n>2 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} a_n=2~\forall~n\geq 0 \end{eqnarray*}$ ?

Und jetzt muss ich nur noch argumentieren, dass diese Laurententwicklung in

$\begin{eqnarray*} A:=\left\{z\in\mathbb{C}:0 < \lvert z\rvert <1\right\} \end{eqnarray*}$

konvergiert für festes $\begin{eqnarray*} z\in A \end{eqnarray*}$ ?

Die geometrische tut's jedenfalls in $\begin{eqnarray*} B:=\left\{z\in\mathbb{C}:\lvert z\rvert<1\right\} \end{eqnarray*}$ also insbesondere in $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ .

Und die beiden anderen Summanden nehmen natürlich für festes $\begin{eqnarray*} z\in A \end{eqnarray*}$ auch endliche Werte an, wenngleich das ziemlich große sein können, wenn z betragsmäßig sehr klein ist.

23.06.2013, 19:49

Tom92

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OK, ich habe dich mit der Nase drauf gestoßen!

Sorry, aber wenn ich dir jetzt das Offensichtliche erkläre, hast du gar keinen Lerneffekt. Schau dir nochmal die Theorie zur Laurentreihe an und vor allem die ersten Beispiele (ihr habt ja wohl welche gemacht). Dann wirst du drauf kommen.

Ich mache jetzt erstmal Schluss. Ich weiß nicht, ob ich mich heute noch einmal anmelde.

Zusatz: Hat sich also erledigt. Du hast es gesehen. Damit ist die Aufgabe gelöst.

Gruß Tom

23.06.2013, 19:52

Emsland

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Ja, die Theorie dahinter ist die Eindeutigkeit der Laurententwicklung.

Und da schon eine gefunden ist, muss es die auch sein.

Edit: Vielen Dank! Manchmal sieht man [jedenfalls aber ich] den Wald vor lauter Bäumen nicht. Big Laugh

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