Beschränktes Wachstum explizit und rekursiv

23.06.2013, 21:29

snule

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Beschränktes Wachstum explizit und rekursiv

Meine Frage:
huhu, kann mir jemand vielleicht helfen
und zwar verstehe ich den Unterschied nicht zwischen der "rekursive" Darstellung und der expliziten Darstellung. Ich habe verstanden dass man bei dieser Formel: B(t+1)= B(t)+k(S-B(t)) (also der rekursiven) immer erst den vorigen Betrag ausrechnen muss um den nächsten zu erhalten aber wenn ich diese Aufgabe hier mit beiden Formeln rechne, bekomme ich etwas anderes raus :

S=100; B(0)=0; k=O,5=50% gesucht: B(1)

1.Formel (rekursive)

B(0+1)=B(0)+0,5*(100-B(0))

B(1)=50

2.Formel (explizite)

B(t)=S-c*e^-k*t

B(1)=100-100*e^-0,5*1

B(1)=39,35

Meine Ideen:
Müsste da jetzt nicht aber dann dasselbe rauskommen? Es sind ja beide formeln die dasselbe beschreiben wollen oder ? Also müsste doch bei beiden dasselbe rauskommen ... Vielen Dank für jede Antwort !! smile

smile

23.06.2013, 21:50

mYthos

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Das ist insoferne klar, weil die Wachstumskonstante k NICHT identisch mit dem prozentualen Wachstumsfaktor ist. Zwischen diesen gilt die Beziehung

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac p {100} = e^k \end{eqnarray*}$

Weshalb?

[Bei p = 50% ist also k ungefähr gleich 0,405]

EDIT:
Diese Angaben beziehen sich auf eine gewöhnliche Wachstumsfunktion.
Auf Grund der besonderen Aufgabenstellung weichen sie hier davon etwas ab, wie in den nachfolgenden Beiträgen (sh. 25.6.) beschrieben.

mY+

23.06.2013, 21:57

Kasen75

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Hallo,

die rekursive Darstellung ist für den diskreten Fall. Die explizite Darstellung hierfür ist: $\begin{eqnarray*} B(t)=S+(S-B_0) \cdot (1-k)^n \end{eqnarray*}$

Grüße.

24.06.2013, 00:31

baloosnoopyleo

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beschränktes wachstum explizit und rekursiv
Vielen dank für eure Antworten ! smile

smile

@mYthos

[attach]30705[/attach]

das bekomm ich raus wenn ich nach k umgeformt habe und es in meine explizite Form eingesetzt habe. Es ist nicht dasselbe :/ Geh ich aber richtig davon aus, dass bei beidem dasselbe rauskommen muss? also es sind beides Formeln für das gleiche ?

@Kasen75
Du sagst das die rekursive Darstellung für den diskreten Fall ist, wann weis ich denn ob es ein diskreter Fall ist?
Und bei dir sieht die expliziete Darstellung ganz anderst aus wie meine
auch wenn ich ausmultipliziere ... Wieso?

Danke nocheinmals!

24.06.2013, 00:41

mYthos

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Ja, ich habe eigentlich ungeachtet, ob beide Funktionen jetzt so stimmen, gesehen, dass du die Wachstumskonstante k mit dem prozentualem Wachstum 0,50 (50%) gleichgesetzt hast.
Und das ist schon mal ein Fehler, denn der Prozentfaktor steht nicht im Exponenten von e.

Die andere Unstimmigkeit wird dir Kasen75 erklären ...

EDIT (1): Zum Unterschied sh. --> Beschränktes Wachstum und --> Beschränktes Wachstum

EDIT (2):
Nochmals der Hinweis:
k ist ein Proportionalitätsfaktor, nicht die prozentuelle Änderungsrate

mY+

24.06.2013, 01:12

Kasen75

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@baloosnoopyleo

Du hattest ja schon die rekursive Darstellung angegeben:

Zitat:

B(0+1)=B(0)+0,5*(100-B(0))

Ohne konkrete Werte wäre das $\begin{eqnarray*} B(t+1)=B(t)+k \cdot (S-B(t)) \end{eqnarray*}$

Die expliziten Darstellung ist dann $\begin{eqnarray*} B(t)=S+(S-B(0)) \cdot (1-k)^n \end{eqnarray*}$ .

Ob eine Wachstumsfunktion diskret oder oder kontinuierlich ist, erkennt man daran, ob die Eulersche Zahl, e, in der expliziten Darstellung vorhanden ist oder nicht. Dies ist jetzt nicht der Fall. Somit ist diese Wachstumsfunktion diskret.

Des Weiteren ist die rekursive Dastellung einer kontinuierlichen Wachstumsfunktion eine Differentialgleichung. Auch dies ist hier nicht der Fall.

Deinen Anhang (2. Bild) kann ich leider nicht (mehr) anschauen. Den scheint das System geschluckt zu haben.

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24.06.2013, 01:50

mYthos

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Die angegebene rekursive Darstellung ist diskret, weil die Zeitdifferenzen eine feste Intervalllänge einhalten.
Des Weiteren kann auch eine Exponentialfunktion diskrete Werte liefern, wenn der Exponent ganzzahlig ist (es gibt nur zu bestimmten Zeiten Funktionswerte, bzw. es liegt eine geometrische Folge vor)

Die durch analytische Funktionen beschriebenen Wachstumsvorgänge sind immer kontinuierlich, weil der Exponent jede beliebige reelle (positive) Zahl annehmen kann und daher zu jedem beliebigen Zeitpunkt ein momentaner Bestandswert existiert. Dabei ist es unerheblich, ob die Basis e ist oder eine andere Zahl. Die e-Potenz kann jederzeit in eine Potenz einer anderen Basis übergeführt werden.

mY+

24.06.2013, 11:36

baloosnoopyleo

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beschränktes wachstum explizit rekursiv
@Kasen75

Zitat:

Ob eine Wachstumsfunktion diskret oder oder kontinuierlich ist, erkennt man daran, ob die Eulersche Zahl, e, in der expliziten Darstellung vorhanden ist oder nicht. Dies ist jetzt nicht der Fall. Somit ist diese Wachstumsfunktion diskret.

Also du unterscheidest bei der expliziten Darstellung zwischen der mit einem "e" und der ohne ein "e" , habe ich das richtig verstanden?
Somit gibt es zwei explizite Darstellungen :
einmal diese : $\begin{eqnarray*} B(t)= S-c*e^-k*t \end{eqnarray*}$
und dieser : $\begin{eqnarray*} B(t)=S-(S-B(O))*(1-k)^n \end{eqnarray*}$

Weil die Wachstumsfunktion ja diskret ist wie ihr sagt könnte ich die explizite Darstellung ohne das "e" nun benutzen oder ? Dabei kommt bei mir aber immernoch nicht das richtige Ergebnis von 50 raus. Also hast du das warscheinlich doch nicht gemeint. Sind diese zwei expliziten Darstellungen dasselbe nur eine eben ohne e?
In der Aufgabe ist jedoch aber keine Funktion am Anfang angegeben, also kann ich die Funktionen nicht damit prüfen ob ein "e" in der expliziten Form angegeben ist um zu entscheiden ob es kontinuierlich oder diskret ist... versteht ihr was ich meine ?

@mYthos
Du sagtest, dass die angegebene Funktion diskret ist, weil die Zeitdifferenzen eine feste Intervalllänge einhalten.
Woher weis ich dass die Zeitdifferenzen eine feste Intervalllänge einhalten?

... also ich fühle mich gerade als ob ich überhaupt nichts verstehe :/ ich bin in mathe normalerweise gar nicht soo übel Hammer

Hammer

aber irgendwie hängts bei mir da oben gerade traurig

traurig

danke nochmal für die Antworten !

24.06.2013, 11:44

baloosnoopyleo

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beschränktes wachstum rekursiv explizit
@mYthos

Zitat:

k ist ein Proportionalitätsfaktor, nicht die prozentuelle Änderungsrate

Bei der expliziten Darstellung ist k der Proportionalitätsfaktor aber bei der rekursiven Darstellung ist k die prozentuelle Änderungsrate , habe ich das nun richtig verstanen ?
deswegen kann bei der expliziten Darstellung p=0,5 auch nicht k = 0,5 sein oder? und ich muss k erst einmal umrechnen mit der Formel die du mir gegeben hast: $\begin{eqnarray*} e^k=1+p/100 \end{eqnarray*}$
das habe ich ja auch gemacht (Bild von der vorigen Antwort) aber da kam ja auch nicht dasselbe Ergebnis dann raus ...

24.06.2013, 14:37

baloosnoopyleo

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Juhu
@Kasen75
ich weis nicht was ich vorher gemacht habe, aber bei der expliziten For ohne "e" kommt bei mir nun doch das Ergebnis von 50 raus! Big Laugh

Big Laugh

Wenn mein Lehrer nun frägt weshab das so ist , was kann ich ihm dann für eine Antwort geben ?

und
@mYthos
mir wäre noch ganz wichtig zu erfahren wie du darauf gekommen bist dass die Zeitdifferenzen eine feste Intervallänge haben smile

smile

Danke danke bis jetzt schoneinmal !

24.06.2013, 14:51

Kasen75

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@baloosnoopyleo

Zitat:

In der Aufgabe ist jedoch aber keine Funktion am Anfang angegeben, also kann ich die Funktionen nicht damit prüfen ob ein "e" in der expliziten Form angegeben ist um zu entscheiden ob es kontinuierlich oder diskret ist... versteht ihr was ich meine ?

Ja. Wir wissen natürlich auch nicht, ob von einem diskreten oder kontinuierlichen Modell ausgegangen wird. Vielleicht postest du mal die ganze Aufgabenstellung (wortwörtlich).

Nehmen wir mal an, dass es sich erstmal um den diskreten Fall handelt:

rekursiv: $\begin{eqnarray*} B(t+1)=B(t)+k \cdot (S-B(t))=0+0,5 \cdot (100-0) \end{eqnarray*}$

expliziit: $\begin{eqnarray*} B(t)=S-(S-B(0)) \cdot (1-k)^n=100-(100-0) \cdot (1-0,5)^1 \end{eqnarray*}$

Wenn man sich den Wert für k anschaut, dann sieht es aber danach aus, dass hier erstmal das diskrete Modell gemeint ist.

Man bekommt den selben Wert in der expliziten kontinuierlichen Darstellung wenn man k umrechnet: Dafür muss man diese Gleichung lösen:
$\begin{eqnarray*} 0,5=e^k \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} k=ln(0,5) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} B(t)=S+(B(0)-S)\cdot e^{k \cdot t}=100+(0-100) \cdot e^{ln(0,5) \cdot 1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wenn mein Lehrer nun frägt weshab das so ist , was kann ich ihm dann für eine Antwort geben ?

Hier zu müsste man die Differenzengleichung lösen: $\begin{eqnarray*} B(t+1)=B(t)+k \cdot (S-B(t)) \end{eqnarray*}$
Dann kommt man auf die explizite Darstellung.

24.06.2013, 15:46

baloosnoopyleo

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@Kasen75

Zitat:

Hier zu müsste man die Differenzengleichung lösen: $\begin{eqnarray*} B(t+1)=B(t)+k \cdot (S-B(t)) \end{eqnarray*}$ Dann kommt man auf die explizite Darstellung.

Ich habe jetzt probiert die rekursive formel in die kontinuierliche explizite umzuwandeln, leider ist mir das nicht an einem Stück gelungen sondern nur so über Umwege:

[attach]30711[/attach]

Du sagtest, dass sei die Erklärung darauf, dass bei der kontinuierlichen expliziten Form nicht das richtige Ergebns rauskäme , mir leuchtet es immer noch nicht ein :/?

24.06.2013, 16:01

baloosnoopyleo

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beschränktes wachstum
und was genau sind denn jetzt die 39,35 die ganz am Anfang beim einsetzen in die explizite Form rausgekommen sind?

24.06.2013, 16:18

mYthos

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RE: Juhu
Ich möchte derzeit nicht weiter in den Thread eingreifen, obwohl ich über dessen Verlauf nicht so glücklich bin.
Vor allem wegen der verschiedenen Gleichungen, in denen die Konstante k immer eine andere Bedeutung hat.
Bisher ist alles Mögliche herausgekommen, nur nicht die richtige Gleichung* des beschränkten Wachstums (diese ist allerdings im Board schon öfters geschrieben worden), deren wichtigstes Kennzeichen der negative Exponent in der e-Potenz ist (k, t sind positiv)

Ich will eigentlich nur noch auf deine Frage eingehen:

Zitat:

Original von baloosnoopyleo
...
@mYthos
mir wäre noch ganz wichtig zu erfahren wie du darauf gekommen bist dass die Zeitdifferenzen eine feste Intervallänge haben smile

smile

Bei der Rekursion (wie auch bei der geometrischen Reihe) setzt man ganzzahlige positive Exponenten ein, denn du beginnst ja mit 0, erhöhst um 1, dann machst du mit 1 weiter und erhöhst wieder um 1, usw., daher geht man von n zu n+1.
Diese Zeiten sind daher punktuell, deren Intervalllänge ist 1, wie das Wachstum dazwischen aussieht, kann - im Gegensatz zum kontinuierlichen Modell - damit nicht beschrieben werden.
_____________________________

(*) $\begin{eqnarray*} B(t) = S - a \cdot e^{-kt} \ ; \ \ k > 0 \ \ [B_0 = S - a \ \text{bzw.} \ a = S - B_0] \end{eqnarray*}$

mY+

24.06.2013, 16:52

Kasen75

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@baloosnoopyleo

Ich habe ja schon geschrieben:

Zitat:

Vielleicht postest du mal die ganze Aufgabenstellung (wortwörtlich).

Was ist deine Aufgabenstellung? Was soll konkret gemacht werden?

Ansonsten reden wir hier am Thema vorbei und der Thread nimmt kein Ende.

25.06.2013, 12:45

mYthos

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Da sich baloosnoopyleo / snule (?) möglicherweise nicht mehr melden wird, möchte ich das Thema doch noch zu einem gewissen Abschluss bringen.

Gehen wir dazu vom Erstpost des TE aus und zeigen mit dessen Angaben, wie sich die Wachstumskonstante aus den 50% der Rekursionsbeziehung ergibt:

Prozentangaben beim begrenzeten Wachstum sind mit Vorsicht zu behandeln, denn sie sind NICHT identisch mit der Wachstumskonstanten im Exponenten der Funktionsgleichung.
Die Wachstumskonstante muss daraus erst berechnet werden.

Das machen wir lt. Aufgabenstellung nachfolgend mit S, B(0) = 0 und p% (50%)

$\begin{eqnarray*} \frac {B_1 - B_0}{S - B_0} = \frac p {100} \end{eqnarray*}$

Die letzte Gleichung(Rekursion) sagt aus, dass das Verhältnis des Bestandzuwachses (B1 - B0) zum Sättigungsmanko (S - B0) konstant p/100 (0,5) beträgt.
Dies ist noch eine Differenzengleichung, welche durch eine Grenzwertbetrachtung in eine Differentialgleichung übergeführt wird.
Die sich durch Integration der Differentialgleichung (in anderen Threads schon gezeigt) daraus ergebende (kontinuierliche) Funktionsgleichung lautet damit

$\begin{eqnarray*} B(t) = S - (S - B_0) e^{-kt} \end{eqnarray*}$

S - B0 wird oft durch eine einzige Konstante (a) ersetzt.
k ist eine eigene Konstante und NICHT mehr gleich dem o.a. Verhältnis p/100 (!)

Die Auswertung für t = 1, B0 = 0 und S noch allgemein und der Vergleich mit der Rekursionsgleichung liefert

$\begin{eqnarray*} \frac {Sp}{100} = S(e^{-k} - 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(1 - \frac p {100}) = S e^{-k} \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac p {100} = e^{-k} \end{eqnarray*}$

Für p = 50 ist folglich $\begin{eqnarray*} k = \ln 2 = 0.69 \end{eqnarray*}$

Setzt der TE dieses k in seine 2. Gleichung ein, so erhält er damit das gleiche Resultat.
___________________

baloosnoopyleo = snule: Bitte bleibe bei einem Namen!
Schreibe, welchen du behalten willst, der andere wird entfernt werden!

mY+

25.06.2013, 17:39

baloosnoopyleo

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beschränkts wachstum
Ich danke euch wirklich unheimlich für die viele mühe die ihr euch genommen habt smile

smile

kann ich euch irgendwie bewerten oder sonst etwas ? Bin hier nämlich ganz neu.

Ich habe es jetzt verstanden, auch anhand dieser Seite hier : http://kilchb.de/faqmath1.html
Dort ist alles auch nochmal ganz gut zusammengefasst.

Die Aufgabe habe ich aus meinem Matheheft entnommen und es steht keine Beschreibung mehr drinnen sondern nur diese 3 Angaben waren gegeben.

Jetzt habe ich nur noch eine Frage, die allerletzte :P
Und zwar Kasen,
ich kann meine expizite Funktion auf zwei verschiedene Wege herleiten. Und zwar einmal, die bei der ich sie vom Sättigungsmanko herleite und einmal den Weg bei der ich sie durch die Differenzialgleichung herleite.
Welche meinst du ist besser :/? Ich habe schon des öftere gelesen dass die explizite Form aus der Differenzialgleichung hergeleitet wird... aber die Herleitung vom Sättigungsmanko erscheint mir leichter und logischer
hier habe ich mal die 2 Herleitungen :
[attach]30732[/attach][attach]30733[/attach]

25.06.2013, 17:51

baloosnoopyleo

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beschränktes wachstum
oh tut mir Leid, ich hatte deinen Eintrag gar nicht gesehen bis gerade.
Ich war am Anfang as Gast angemeldet und habe da diesen Namen gewählt um euch dann aber auf eure Antworten meiner Frage wieder antworten zu können musste ich mich registrieren , mein ursprünglicher Name "snule" war aber bereits schon vergeben. --> deshalb der Namenswechsel.

25.06.2013, 19:02

baloosnoopyleo

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RE: beschränktes wachstum
und hättet ihr mir noch einen kontinuierlichen/stetigen Zerfall als Beispiel? smile

smile

25.06.2013, 19:07

Kasen75

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Der Anfang vom deinem zweiten Blatt stimmt schon mal:

$\begin{eqnarray*} f'(t)=k \cdot (S-f(t)) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} f'(t)=\frac{df(t)}{dt} \end{eqnarray*}$

Somit: $\begin{eqnarray*} \frac{df(t)}{dt}=k \cdot (S-f(t)) \end{eqnarray*}$

Das ist hier ein bisschen anders als bei dir.

Jetzt kann man dt auf die rechte Seite bringen:

$\begin{eqnarray*} df(t)=k \cdot (S-f(t)) \cdot dt \end{eqnarray*}$

Und (S-f(t)) auf die linke Seite:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{S-f(t)} \ df(t)=k \ dt \end{eqnarray*}$

Jetzt in der Tat integrieren:

$\begin{eqnarray*} -ln(S-f(t))=k \cdot t +c \end{eqnarray*}$

Das negative Vorzeichen auf der linken Seite rührt daher, da die Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln(S-f(t)) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{S-f(t)}\cdot (-1) \end{eqnarray*}$ ist.
Die (-1) ist die "innere Ableitung" bei der Kettenregel. Also die Ablteitung von $\begin{eqnarray*} S-f(t) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ . Und das ist (-1). Diese (-1) muss ausgeglichen werden.

Jetzt in der Tat beide Seiten als Exponenten zu Basis e schreiben. Vorher kann man beide Seiten mit (-1) multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} ln(S-f(t))=-k \cdot t -c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{ln(S-f(t))}=e^{-k \cdot t -c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S-f(t)=e^{-k \cdot t -c} \end{eqnarray*}$

Dies kann man jetzt auch schreiben als:

$\begin{eqnarray*} S-f(t)=e^{-k \cdot t}\cdot C \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} C=e^{-c} \end{eqnarray*}$

Achtung: Das ist jetzt die Ausgangsgleichung deines zweiten Blattes.

Um C zu bestimmen, setzt man für t=0 ein.

$\begin{eqnarray*} S-f(0)=e^{-k \cdot 0} \cdot C \Rightarrow S-f(0)=e^0 \cdot C \Rightarrow S-f(0)=C \end{eqnarray*}$

Den Wert für C kann man jetzt oben einsetzen:

$\begin{eqnarray*} S-f(t)=e^{-k \cdot t}\cdot (S-f(0)) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du nach f(t) auflösen. Dann hast du die explizite Darstellung des kontinuierlichen beschränkten Wachstums. Sie ist ein bisschen anders als deine Ergebnisse.

Deine Ergebnisse stimmen zwar nicht, aber deine Bemühungen waren dennoch gut.

Was deine letzte Frage betrifft, stellt sich mir die Frage ob du hier an Board oder im Netz schonmal selber gesucht hast ?

25.06.2013, 20:14

Grautvornix

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Vermutlich liegt's daran, dass ich mich mit dem Thema nicht auskenne,

aber zu der gegebenen Rekursion

$\begin{eqnarray*} B_{n+1}=B_n+\frac 12\left(100-B_n\right),~B_0=0 \end{eqnarray*}$

hätte ich die explizite Darstellung

$\begin{eqnarray*} B_n=50\left(1-\frac 1{2^n}\right). \end{eqnarray*}$

25.06.2013, 20:19

baloosnoopyleo

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Also ist meine Herleitung falsch ab dem Punkt

? :/
das einzigste was ich jetzt noch nicht verstehe ist wieso man plötzlich e^-c als S-B(=) definiert . Natürlich ist mir klar dass bei der expliziten Darstellung das c definiert ist mit S-B(0), aber dass ich e^-c so definieren kann leuchtet mir nicht ein.

Ich habe mir nun selbst eins ausgedacht, wenn ich im Internet eingebe "kontinuierlicher / stetiger beschränkter Zerfall" oder irgendwas dergleichen habe ich nichts gefunden aber mit meinem Beispiel wirds wohl auch gehen... hoffe ich einmal :P

26.06.2013, 17:33

baloosnoopyleo

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ahhhhh jetzt hats klick gemacht ;D wir haben ja das c mit t=0 herausgefunden smile

smile

alles klar ;D

26.06.2013, 17:44

mYthos

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Die e-Funktion wird in keiner Weise einfach so drauf los definiert, das wäre Humbug.
Vielmehr entsteht bei der Integration doch ein $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ (natürlicher Logarithmus) und dieser führt nun mal beim Entlogarithmieren auf eine e-Funktion.

Bitte gehe den letzten Post von Kasen75 dahingehend nochmals durch! Wenn du das dann mal verstehst, wirst du auch sehen, dass deine letzte Frage müßig gewesen ist.

mY+

26.06.2013, 20:52

mYthos

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Zitat:

Original von Grautvornix
...
hätte ich die explizite Darstellung

$\begin{eqnarray*} B_n=50\left(1-\frac 1{2^n}\right). \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht ganz, die 50 sind falsch. Mit S = 100 vor der Klammer wird's dann richtig zu

$\begin{eqnarray*} B_n = 100 \left(1 - (\frac 1 2)^t \right) \end{eqnarray*}$

und das ist identisch mit

$\begin{eqnarray*} B(t) = 100(1 - e^{- t \cdot \ln 2}) \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung habe ich euch im Prinzip schon vorhin präsentiert.

mY+

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