Stammfunktion bilden

23.06.2013, 21:35	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion bilden Folgende Funktion: $\begin{eqnarray} I = \int \frac{3}{4x^2 + 3} \ dx \end{eqnarray}$ Nun ist die Stammfunktion gesucht, ich komme auf: $\begin{eqnarray} I = \frac{3}{4} \int \frac{dx}{x^2 + \frac{3}{4}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I = \frac{3}{4} \int \frac{dx}{x^2 + \left( \sqrt{\frac{3}{4}} \right)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I = \frac{3}{4} \int \frac{dx}{x^2 + a^2} \end{eqnarray}$ Und das ist nun: $\begin{eqnarray} I = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}} \ arc \ tan \ ( \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{4}}} ) \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ arc \ tan \ \left( \frac{2x}{\sqrt{3}} \right) \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I = \frac{3}{4} \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \ arc \ tan \ \left( \frac{2x}{\sqrt{3}} \right) \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I = \frac{3}{2} \sqrt{3} \ arc \ tan \ \left( \frac{2x}{\sqrt{3}} \right) + C \end{eqnarray}$ Die Musterlösung: $\begin{eqnarray} I = \frac{\sqrt{3}}{2} \ arc \ tan \ \left( \frac{2x}{\sqrt{3}} \right) + C \end{eqnarray}$ Wo ist mein Fehler?
23.06.2013, 21:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnung $\begin{eqnarray} \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \stackrel{???}{=} \frac{3}{2}\sqrt{3} \end{eqnarray}$ von der vorletzten zur letzten Zeile solltest du ernsthaft hinterfragen.
23.06.2013, 21:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Fehler liegt in der letzten Zeile! mY+
23.06.2013, 21:43	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre das nicht schlicht: $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot\sqrt{3} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{3}{2 \cdot\sqrt{3} } \end{eqnarray}$ Und nun?
24.06.2013, 00:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Entweder: 3 lässt sich durch $\begin{eqnarray} \sqrt 3 \end{eqnarray}$ kürzen! Oder: Der Nenner mit $\begin{eqnarray} \sqrt 3 \end{eqnarray}$ lässt sich durch entsprechendes Erweitern rational machen und danach ist durch 3 zu kürzen. mY+

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