Gleichmäßige Stetigkeit

23.06.2013, 21:51

MatheNoobii

Gleichmäßige Stetigkeit

Hey Leute,

meine Aufgabe lautet wie folgt:

Eine stetige und beschränkte Funktion $\begin{eqnarray*} f : [0,\infty[ \rightarrow R \end{eqnarray*}$ ist gleichmäßig stetig.

Meine Ideen:

Nach dem Satz von Heine gilt: Ist eine Funktion f in einem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ stetig, dann ist sie dort auch gleichmäßig stetig.

Und ein Intervall ist kompakt, wenn die Funktion beschränkt ist(Unsere Funktion ist beschränkt!) und abgeschlossen ist. Wenn ich richtig liege ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\infty[ \end{eqnarray*}$ jedoch offen, das bedeutet es müsste ein Gegenbeispiel zu finden sein. Liege ich mit dieser Vermutung richtig?

23.06.2013, 22:07

MatheNoobii

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RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Oder ist dieses Intervall trotzdem abgeschlossen?

Unsere Funktion konvergiert, da sie beschränkt ist, und der Grenzwert kann ja nicht unendlich sein.

Aber könnte ich nicht die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{x}-1 \end{eqnarray*}$ , deren Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}-1 = -1 \end{eqnarray*}$ ist und somit außerhalb des Intervalles liegt?

24.06.2013, 17:35

Che Netzer

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RE: Gleichmäßige Stetigkeit

Zitat:

Original von MatheNoobii
meine Aufgabe lautet wie folgt:

Eine stetige und beschränkte Funktion $\begin{eqnarray*} f : [0,\infty[ \rightarrow R \end{eqnarray*}$ ist gleichmäßig stetig.

Das ist keine Aufgabe, sondern eine Aussage. Was sollt ihr damit machen?

Zitat:

Und ein Intervall ist kompakt, wenn die Funktion beschränkt ist(Unsere Funktion ist beschränkt!) und abgeschlossen ist.

Kompaktheit von Intervallen hat nichts mit einer darauf definierten Funktion zu tun.
Ein Intervall ist kompakt, wenn es (das Intervall selbst) beschränkt und abgeschlossen ist.
Das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[0,\infty\right[ \end{eqnarray*}$ ist nicht beschränkt.

Zitat:

Wenn ich richtig liege ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\infty[ \end{eqnarray*}$ jedoch offen

Wieso?

Zitat:

Unsere Funktion konvergiert, da sie beschränkt ist, und der Grenzwert kann ja nicht unendlich sein.

Welcher Grenzwert?

Zitat:

Aber könnte ich nicht die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{x}-1 \end{eqnarray*}$ , deren Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}-1 = -1 \end{eqnarray*}$ ist und somit außerhalb des Intervalles liegt?

Die Funktion ist nicht auf dem betrachteten Intervall definiert.
Was willst du damit überhaupt zeigen?

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