Die Suche nach dem Erfolg - bei Ölbohrungen

26.02.2007, 18:21

The Bearclaw

Die Suche nach dem Erfolg - bei Ölbohrungen

Hallo,

hier ist eine Aufgabe, die lautet:

"Eine Erdölbohrung wird mit der Wahrscheinlichkeit p=0,12 fündig.
Wieviele Bohrungen müssen vorgenommen werden, damit die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg größer als 0,5 ist?"

(Binomial-Verteilungsaufgabe, soweit klar!)

Bei der Lsg. der Aufgabe stieß ich auf folgende Schwierigkeit:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 1)=1-P(X\leq 0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 1)=1-B(n;0,12;0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-B(n;0,12;0)\geq 0,5 \Rightarrow B(n;0,12;0)\leq 0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} * 0,12^{0}*(1-0,12)^{n} \leq 0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,88^{n} \leq 0,5 \end{eqnarray*}$

Und wie weiter bei der Auflösung nach n?!

Ich habe gedacht, so wärs richtig (isses aber nicht):

$\begin{eqnarray*} 0,88^{n} \leq 0,5 \mid :0,88 \mid *10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10^{n}\geq \frac{0,5}{0,88} *10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n\geq log(\frac{5}{0,88} ) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich es richtig auflösen?
Thx!

26.02.2007, 18:52

brunsi

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RE: Die Suche nach dem Erfolg - bei Ölbohrungen
naja wieso willst du eigentlich die Binomialverteilung nehmen? Dachte das wäre hier was mit de rgeometrischen Verteilung!!

Variante A:

mit $\begin{eqnarray*} n: \end{eqnarray*}$ Anzahl Bohrungen bis zu einer Wahrscheinlichkeit größer als 0,5

aber WARTEN wir hier lieber einmal auf einen Statistikexperten, so ganz sicher binich mir hier nämlich nicht!!

VErwechsel das auch immer!!! Meins muss nicht richtig sein und wird es vermutlicha uch nicht. Könnte einmal einer der Experten meins anschauen und mir erzählen was hier falsch läuft??!

edit: schaue einmal hier und versuche dein Ölbohrbeispiel darauf zu übertragen, ich werde dir veruschen zu helfen:

http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Verteilu/geom.htm
[url=http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Verteilu/geom.htm][/url]

edit2: bedenke du hast es hie rmit einer diskreten Verteilung zu tun, da musst du die einzelnen wahrscheinlichkeiten aufsummieren.

26.02.2007, 22:24

yeti777

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RE: Die Suche nach dem Erfolg - bei Ölbohrungen
@BearClaw, @brunsi:

Zitat:

Arthur

Die Binomialverteilung kommt dann zum Zuge, wenn es um die Anzahl Erfolge bei einer festgelegten Anzahl Versuche geht.

Bei der vorliegenden Aufgabe geht es aber nicht darum, sondern um das erste Eintreten eines Erfolges, und dieser Zeitpunkt ist geometrisch verteilt.

Hier geht es ganz klar darum, dass ein Erfolg zum ersten Mal eintritt, also geometrische Verteilung!

Die Aufgabe kann umformuliert werden: Wie lange muss man bohren, damit $\begin{eqnarray*} kein \end{eqnarray*}$ Erfolg eintritt. Also gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq x)= (1-p)^{x-1} = 0.88^{x-1} = 0.5,\,\,x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x-1)ln(0.88)= ln(0.5)\Rightarrow x= 1+ \frac{ln(0.5)}{ln(0.88)} \approx 6.422 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Man muss 7 Mal bohren, bis der erste Erfolg mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 eintritt.

Gruss yeti

27.02.2007, 09:42

brunsi

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RE: Die Suche nach dem Erfolg - bei Ölbohrungen
na da war mein erster gedanke gestern ja doch nicht falsch. dummerweise habe ich ihn angezweifelt und dann wieder weg editiert. wird bearclaw sicherlich bezeugen können.

Stattdessen habe ich dann Variante A drauß gemacht, bei der es darum geht die Anzahl Versuche bis zu einem Erfolg zu realisieren!

Aber danke yeti, dann weiß ich jetzt wenigstens, dass ich "nicht nur geradeaus schauen darf, sondern auch einmal um die exke und zurück schauen muss!"! (Nice Spruch! Big Laugh

)

gruß brunsi

27.02.2007, 16:34

The Bearclaw

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RE: Die Suche nach dem Erfolg - bei Ölbohrungen

Zitat:

Original von yeti777

Hier geht es ganz klar darum, dass ein Erfolg zum ersten Mal eintritt, also geometrische Verteilung!

Die Aufgabe kann umformuliert werden: Wie lange muss man bohren, damit $\begin{eqnarray*} kein \end{eqnarray*}$ Erfolg eintritt. Also gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq x)= (1-p)^{x-1} = 0.88^{x-1} = 0.5,\,\,x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x-1)ln(0<br /> <br /> .88)= ln(0.5)\Rightarrow x= 1+ \frac{ln(0.5)}{ln(0.88)} \approx 6.422 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Man muss 7 Mal bohren, bis der erste Erfolg mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 eintritt.

Gruss yeti

Hallo yeti, hallo burnsi,

hier mal eine Verständnisfrage von mir verwirrt

wieso kommt bei yeti das: $\begin{eqnarray*} P(X \geq x)= (1-p)^{x-1} \end{eqnarray*}$
und bei dem Link von Burnsi wird jedoch das benutzt: $\begin{eqnarray*} P(X \geq x)= (1-p)^{x-1}*p \end{eqnarray*}$ verwirrt

Denn dann müssten doch noch bei yetidie $\begin{eqnarray*} 0.88^{x-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} *0.12 \end{eqnarray*}$ multipliziert werden?!

Bei der weiteren Rechnung: Wieso kommt da ein ln hin und kein log?
Soweit ich weiß, werden ln's bei e-Fkt. angewendet, log's bei 10^(x)-Fkt.?!

@burnsi: Ja, ich hatte noch irgendwas anderes bei deiner ersten Antwort gelesen. Hatte es aber nicht auf Anhieb verstanden! Augenzwinkern

Vielen Dank für die Hilfe, ich denke (und hoffe), ich habe den Rest kapiert! Idee!

27.02.2007, 18:35

yeti777

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RE: Die Suche nach dem Erfolg - bei Ölbohrungen
Hallo BearClaw!

1. Frage zur geometrischen Verteilung:
$\begin{eqnarray*} P(X= x)= p (1-p)^{x-1},\,\,P(X\geq x)= (1-p)^{x-1} \end{eqnarray*}$
Die Herleitung der 2. Formel ist etwas länglich, so wie ich es mache (Arthur könnte das besser Augenzwinkern

. Bestehst du auf der Herleitung unglücklich

?

2. Frage zum Logarithmus:
Du kannst den Logarithmus zu einer beliebigen Basis nehmen - insbesondere zur Basis 10 - solange du auf beiden Seiten der Gleichung das Gleiche machst. Ich benütze aus Gewohnheit den natürlichen Logarithmus. Aber wie gesagt, das ist Geschmackssache.

Gruss yeti

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