gleichverteilung

24.06.2013, 00:34	sopos	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichverteilung Meine Frage: seien X,Y stochastisch unabhängige und auf dem Intervall [0;1] gleichverteilte zufallsvariablen, d.h. X~U[0;1], Y~U[0;1]. sei Z:= min {X,Y}. a) berechnen sie die verteilungsfunktion von Z. b) berechnen sie die wahrscheinlichkeit P(0,1 <= Z <= 0,2). Meine Ideen: leider habe ich überhaupt keine ahnung was ich zu tun habe... hilfe bitte... danke im voraus... lg
24.06.2013, 10:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Mimimum zweier Zahlen ist genau dann größer als ein fester vorgegebener Wert $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , wenn beide Zahlen größer als $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ sind. Dementsprechend gilt für die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} F_Z(t) = P(Z\leq t) = 1-P(Z=\min(X,Y)>t) = 1-P(X>t\,\wedge\,Y>t) = 1-P(X>t)P(Y>t) \end{eqnarray}$ , bei letzterer Gleichheit wurde bereits die vorausgesetzte Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ genutzt. Den Term rechts kannst du nun noch mit den Verteilungsfunktionen $\begin{eqnarray} F_X(t)=P(X\leq t),F_Y(t)=P(Y\leq t) \end{eqnarray}$ der Ausgangsgrößen darstellen, deren Werte einsetzen (die verschiedenen Intervalle für $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ beachten!), und schon steht das Ergebnis für a) da.

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