Kuben im Eisenstein-Ring

24.06.2013, 01:41	Haa90	Auf diesen Beitrag antworten »
Kuben im Eisenstein-Ring Meine Frage: Hallo zusammen, in einem Beweis, den ich benutze wird darauf zurückgegriffen, dass Kuben im Ring der Eisensteinschen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\rho] \end{eqnarray}$ immer kongruent zu 0 oder 1 mod 2 sind. Das möchte ich gerne beweisen, jedoch komme ich mit einer normalen Restklassenrechnung nicht weiter. Beispielsweise in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ gäbe es ja gar keine anderen Möglichkeiten, als 0 oder 1. Meine Ideen: Ich habe aber den Tipp bekommen, dass im Eisenstein-Ring zudem die Kongruenz $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \rho^2 \end{eqnarray}$ möglich sei. Schreibt man den Restklassenring dann $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\rho]/ \mathbb{Z}=\lbrace 0, 1, \rho, \rho^2 \rbrace \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \text{Sei } A \in \mathbb{Z}[\rho], A = a + b\rho, \ a, b \in \mathbb{Z}, \ a \equiv b \mod 2 \end{eqnarray}$ Setze ich dann nun einfach die möglichen Elemente aus dem Restklassenring für a und b ein? Dann wären ja nur a=0 und b=0 beziehungsweise a=1 und b=1 möglich. Nach Potenzieren bekäm ich dann für den ersten Fall kongruent zu 0(2) und für den zweiten Fall kongruent zu 1(2). Aber das wäre doch zu einfach und ich hätte $\begin{eqnarray} \rho, \rho^2 \end{eqnarray}$ außer Acht gelassen? Wie macht man das richtig? Liebe Grüße, Haa90
24.06.2013, 07:00	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kuben im Eisenstein-Ring hallo, also zunächst haben sich bei dir ein paar kleine fehler eingeschlichen: Es muss nicht heissen: Z[rho]/Z ={0,1,rho,rho^2}, sondern Z[rho]/2Z={0,1,rho,rho^2}. Die von dir aufgezählten restklassen sind aber richtig. Und bei der aufzählung der elemente muss a nicht unbedingt kongruent zu b mod 2 sein. Die sache selbst beweist man ganz einfach, man bildet die kuben der 4 möglichen restklassen und sieht, was dann passiert, rho ist ja definiert als 3.prim. einheitswurzel. Das ist eigentlich ein einzeiler... gruss ollie3
24.06.2013, 12:37	Haa90	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, die 2 hatte ich beim Restklassenring vergessen, danke. Achso, also reicht es zu zeigen: A kongruent zu 0, 1, rho, rho^2 mod 2 also A^3 kongruent zu 0^3, 1^3, rho^3, rho^6 mod 2 wobei damit A^3 kongruent zu 0, 1 mod 2 ? Wieso sind denn eigentlich rho und rho^2 auch Restklassen mod 2? Das brauche ich zwar nicht in meinem Beweis, aber rein aus Interesse, habe Schwierigkeiten mir das vorzustellen.
24.06.2013, 12:53	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ja, das liegt daran, weil wir hier ja nicht den ring Z, sondern eben Z[rho] vorliegen haben, und wenn man rho oder rho^2 durch 2 teilt, kann man nicht als rest 0 oder 1 erwarten. gruss ollie3
24.06.2013, 19:08	Haa90	Auf diesen Beitrag antworten »
Na klar, gar nicht so kompliziert! Danke für die Hilfe (:

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