spezielle Lösung DGL

24.06.2013, 12:37

Toppsi

spezielle Lösung DGL

Hallo,

ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch. Ich hba ediese Aufgabe wie folgt gelöst:

y''-3y=0

l^2-3=0
Daraus ergibt sich die doppelte Nullstelle bei l=Wurzel aus 3

Als allgemeine Lösung ergibt sich somit:

$\begin{eqnarray*} $y=C_{1}e^{\sqrt{3}x}+C_{2}e^{\sqrt{3}x}$$ \end{eqnarray*}$

Nun soll die spezielle Lösung für: $\begin{eqnarray*} $x_{0}=0$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $y_{0} =1$ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} $y'_{0}=0$ \end{eqnarray*}$ bestimmt werden

Wie bestimme ich nun die spezielle Lösung?

Danke für eure Hilfe!!!

24.06.2013, 12:44

lgrizu

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RE: spezielle Lösung DGL
Zunächst einmal hast du keine doppelte Nullstelle, das charakteristische Polynom hat zwei (voneinander verschiedene) Nullstellen, ansonsten hättest du:

$\begin{eqnarray*} y=c_1 e^{ \sqrt{3}x}+c_2 e^{\sqrt{3}x}=(c_1+c_2) \cdot e^{\sqrt{3}x} \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} c_1+c_2=C \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} y=C \cdot e^{\sqrt{3}x} \end{eqnarray*}$ , also wäre nur eine Konstante zu bestimmen.

Also zuerst einmal die Nullstellen des charakteristischen Polynoms richtig bestimmen....

24.06.2013, 12:48

zyko

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RE: spezielle Lösung DGL

Zitat:

Als allgemeine Lösung ergibt sich somit:

$\begin{eqnarray*} $y=C_{1}e^{\sqrt{3}x}+C_{2}e^{\sqrt{3}x}$$ \end{eqnarray*}$

Richtig muss es heißen:
$\begin{eqnarray*} $y=C_{1}e^{\sqrt{3}x}+C_{2}e^{-\sqrt{3}x}$$ \end{eqnarray*}$
denn es gilt $\begin{eqnarray*} (\pm\sqrt{3})^2=3 \end{eqnarray*}$
Spezielle Lösung:
Bilde
$\begin{eqnarray*} y_0=y(x_0)=1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} y'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$
Aus diesen zwe Gleichungen sind die $\begin{eqnarray*} C_i \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

24.06.2013, 12:58

lgrizu

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RE: spezielle Lösung DGL
Und wo genau ist dein Problem?

Du hast nun die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} y=C_1 e^{\sqrt{3}x} + C_2 e^{- \sqrt{3}x} \end{eqnarray*}$

Und die Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'(0)=0 \end{eqnarray*}$

Die Bedingungen sind in die allgemeine Lösung einzusetzen.....

Edit: @zyko:

Habe dich gerade mit dem Fragesteller verwechselt, dass es zwei Lösungen des charakteristischen Polynoms gibt, da hätte er selbst drauf kommen müssen, dazu habe ich etwas geschrieben, ich finde, du hast hier ein wenig viel vorgekaut für eine so einfache Aufgabe.....

24.06.2013, 13:47

Toppsi

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RE: spezielle Lösung DGL
JA mit den Nullstellen hatte ich mich vertan. Danke!!

Ich habe jetzt die Ableitung gebildet von der allgemeinen Lösung. Diese lautet:

$\begin{eqnarray*} $y'=\sqrt{3}C_{1}e^{\sqrt{3}x}-\sqrt{3}C_{2}e^{-\sqrt{3}x}$ \end{eqnarray*}$

Ist die richtig? Und dnan einfach die Bedingungen einsetzen ja?

Sorry, ich weiß die Aufgabe ist recht leicht . Ich hab mir das Thema Differentialgleichungen in den letzten 3 Tagen selbst beigebracht, deshalb kommen wohl so blöde Fragen, tut mir Leid..

Danke!!!

24.06.2013, 14:20

lgrizu

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RE: spezielle Lösung DGL
Genau, jetzt die Bedingungen $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'(0)=0 \end{eqnarray*}$ einsetzen, das liefert dir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, Ableitung ist richtig...

24.06.2013, 16:52

Toppsi

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RE: spezielle Lösung DGL
vielen Dank!!!

hab die richtige Lösung rausbekommen!

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