Konvergenzverhalten iterativer Verfahren

24.06.2013, 13:25	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzverhalten iterativer Verfahren Folgende Aufgabe: Es seien $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G(t) \end{eqnarray}$ mindestens zweimal stetig differenzierbare Funktionen und es gelte $\begin{eqnarray} G(0) =1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G''(0) = 0.5 \end{eqnarray}$ . Ferner werde $\begin{eqnarray} \Phi(x) \end{eqnarray}$ in folgender Weise definiert: $\begin{eqnarray} \Phi(x) = x -\frac{f(x)}{f'(x)} G(\frac{f(x)f''}{f'(x)^{2})} \end{eqnarray}$ Bestätigen Sie, dass durch $\begin{eqnarray} x_{n+1} = \Phi(x_{n}) (n=0,1,2,...) \end{eqnarray}$ definierte Iterationsverfahren für einfache Nullstellen von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ lokal mit kubischer Konvergenzordnung konvergiert. Idee: Naja, das Newton Verfahren zur Bestimmung einer einfachen Nullstelle besitzt lokal die Eigenschaft $\begin{eqnarray} \|x_{n+1}-x_{0}\| \leq C\|x_{n}-x_{0}\|^{2} \end{eqnarray}$ . Man nennt es deshalt quadratisch oder von zweiter Ordnung konvergent. Allgemein konvergiert ein Iterationsverfahren zur Berechnung einer Größe $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ mit der Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , wenn es eine Konstante $\begin{eqnarray} C>0 \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} \|x_{n+1} - x_{0}\| \leq C \|x_{n}-x_{0}\|^{p} \end{eqnarray}$ Zum Bsp bei linearer Konvergenz, d.h $\begin{eqnarray} p=1 \end{eqnarray}$ heißt die bestmögliche Konstante lineare Konvergenzrate und wir haben Konvergenz im Falle $\begin{eqnarray} C<1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \|x_{n+1}-x_{0}\| \leq C\|x_{n}-x_{0}\| \leq ... c^{n}\|x_{1}-x_{0}\| \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty) \end{eqnarray}$ Gilt die Abschätzung: $\begin{eqnarray} \|x_{n+1}-x_{0}\| \leq C_{n}\|x_{n}-x_{0}\| \end{eqnarray}$ Aber wie mache ich das nun bei mir, wenn die funktion mindestens 2 mal stetig diffbar ist? LG
24.06.2013, 13:31	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzverhalten iterativer Verfahren Das müsste irgendwie mit Anwendung der Taylorschen Formel gehen ..

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