Symmetrische Bilinearform oder hermitesche Sesquilinearform?

24.06.2013, 16:04	marocaine	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Bilinearform oder hermitesche Sesquilinearform? Hallo Matheboard-Gemeinde, es geht um folgende Aufgaben: Welche der folgenden Abbildungen sind symmetrische Bilinearformen und welche sind hermitesche Sesquilinearformen? 1) $\begin{eqnarray} s:\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}^2 \mapsto \mathbb{C}, s(x,y) = x_1 \overline y_1 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} s:\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}^2 \mapsto \mathbb{C}, s(x,y) = x_1 \overline{y_1} + \overline{x_2} y_2 \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} s:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}, s(x,y) = \overline{x} \overline{y} \end{eqnarray}$ 4) $\begin{eqnarray} s:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}, s(x,y) = \overline{x} y + \overline{y} y \end{eqnarray}$ 5) $\begin{eqnarray} s:\mathbb{C}^3 \times \mathbb{C}^3 \mapsto \mathbb{C}, s(x,y) = x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_3 y_3 \end{eqnarray}$ Meine Frage ist, ob meine folgenden Lösungen korrekt sind (dabei ist "k" im Folgenden stets ein Skalar aus den komplexen Zahlen): 1) Sesquilinearform, da $\begin{eqnarray} s(kx,y) = kx \overline{y} = k s(x,y) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} s(x,ky) = x \overline{ky} = \overline{k} s(x,y) \end{eqnarray}$ . Hermitesche Symmetrie ist klar, Additivität auch. 2) weder noch: $\begin{eqnarray} s(y,x) = y_1 \overline{x_1} + \overline{x_2} y_2 \neq s(x,y) \end{eqnarray}$ --> keine symmetrische Bilinearform; $\begin{eqnarray} s(kx,y) = kx_1 \overline{y_1} + \overline{kx_2}y_2 \neq k s(x,y) \neq \overline{k} s(x,y) \end{eqnarray}$ --> weder linear noch semilinear im ersten Argument --> auch keine Sesquilinearform 3) weder noch: $\begin{eqnarray} s(kx,y) = \overline{kxy} = \overline{k} s(x,y) = s(x,ky) \end{eqnarray}$ --> semilinear in beiden Argumenten --> weder Bilinearform noch Sesquilinearform 4) weder noch: $\begin{eqnarray} s(kx,y) = \overline{kx}y + \overline{y}y \neq k s(x,y) \neq \overline{k} s(x,y) \end{eqnarray}$ --> weder linear noch semilinear im ersten Argument --> keine Bilinear- und auch keine Sesquilinearform 5) weder noch: keine Symmetrie ist klar --> keine symmetrische Bilinearform; keine Semilinearität ist auch klar, da nirgendwo eine komplexe Konjugation in der Abbildung auftaucht --> keine Sesquilinearform Sind diese Argumente richtig? Ich habe das leise Gefühl, es mir zu einfach zu machen. Außerdem finde ich es verdächtig, dass so viele der Abbildungen keinem der beiden Typen entspringen würden, hätte ich Recht. Danke und beste Grüße, maro
19.08.2013, 18:40	marocaine	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, dass ich das hier nochmal so schamlos pushe, aber ich habe übermorgen meine mündliche Prüfung in lineare Algebra. Kann mir jemand kurz durchgeben, ob meine Argumente richtig sind? Danke ! maro
19.08.2013, 18:47	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Antwort stimmen alle. (und ich denke, nach einer so langen Zeit darfst du auch gerne pushen)

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