potential

24.06.2013, 20:37

asdkind

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potential

Gibt es eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)= \begin{pmatrix} xy \\ y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

Leider habe ich gar keine Ahnung, wie ich das machen kann. Mit einfachem Integreieren ists ja wohl nicht getan, da ja noch Konstanten dazukommen?

Gruß Klaus

24.06.2013, 22:47

Che Netzer

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RE: potential
Hattet ihr schon etwas wie "Integrabilitätsbedingungen"?

Wenn nicht: Benutze den Satz von Schwarz, das ist dasselbe.

24.06.2013, 22:55

asdkind

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RE: potential
Hallo che netzer,

ich kenne (glaube ich zum.) beides.

Ich versteh nicht so ganz, wie der Satz von SChwarz mir hier helfen sollte. Damit kann ich doch nur eine Aussage über die Stetigkeit der Ausgangsfunktion treffen. Oder gilt bei mehrdimensionalen Ableitungen etwa auch:

f(x) nicht stetig-->f(x) nicht diff'bar

?

Gruß asdkind

24.06.2013, 22:57

Che Netzer

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RE: potential
verwirrt

verwirrt

Wie lautet denn die Aussage, die du als Satz von Schwarz kennst?

24.06.2013, 23:01

asdkind

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RE: potential
Big Laugh

Big Laugh

die hier:

Ist f nach x und y zweimal partiell diff'bar und sind die gemischten partiellen Ableitungen fxy und fyx stetig, so ist fxy=fyx. (Es kommt dann auf die Reihenfolge beim Ableiten nicht an.) (Gilt auch: falls fxy=fyx, dann ist fxy bzw. fyx stetig?)

Ok, das mit der Stetigkeit habe ich verwechselt.

24.06.2013, 23:09

Che Netzer

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RE: potential
Nein, soweit ich weiß, muss man die Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen nicht fordern.
Hier sind sie aber stetig.

Kannst du den Satz von Schwarz nun auch auf die Aufgabe anwenden?

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24.06.2013, 23:12

asdkind

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RE: potential
Wenn ich das dann jetzt einmal nach x bzw y ableite, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber was sagt mir das? Bin mir grade auch unsicher, weil sowohl f(x)=x ist ja stetig und auch f(x)=0 ist ja stetig, aber $\begin{eqnarray*} f_{xy} \neq f_{yx} \end{eqnarray*}$

24.06.2013, 23:16

Che Netzer

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RE: potential

Zitat:

Original von asdkind
Wenn ich das dann jetzt einmal nach x bzw y ableite, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was heißt hier "bzw"?
Wonach hast du abgeleitet? Und was hast du abgeleitet?

Zitat:

Bin mir grade auch unsicher, weil sowohl f(x)=x ist ja stetig und auch f(x)=0 ist ja stetig, aber $\begin{eqnarray*} f_{xy} \neq f_{yx} \end{eqnarray*}$

Und was soll das heißen? Du gibst eine Funktion einer einzelnen Variable an und behauptest, dass die gemischten Ableitungen verschieden sind.

24.06.2013, 23:16

asdkind

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RE: potential

Zitat:

Original von Che Netzer
Nein, soweit ich weiß, muss man die Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen nicht fordern.

Sorry, aber ich versteh nicht ganz genau, worauf du dich damit beziehst.

24.06.2013, 23:17

Che Netzer

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RE: potential
Auf die einzige Frage, die du in deinem Beitrag zuvor gestellt hattest.

24.06.2013, 23:23

asdkind

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RE: potential
ich mein folgendes:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x)= \begin{pmatrix} \frac{\partial f(x,y)}{dx}\\\frac{\partial f(x,y)}{dy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} xy \\ y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y \partial x}=0 \end{eqnarray*}$

und somit ist $\begin{eqnarray*} f_{xy} \neq f_{yx} \end{eqnarray*}$

24.06.2013, 23:24

Che Netzer

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RE: potential
Ja. Und was schließt du daraus?

Edit: Statt $\begin{eqnarray*} \dd \end{eqnarray*}$ sollte es im Gradienten jeweils $\begin{eqnarray*} \partial \end{eqnarray*}$ heißen.

24.06.2013, 23:26

asdkind

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RE: potential
Dass die (2-mal) partiellen Ableitungen nicht stetig sind.

24.06.2013, 23:28

Che Netzer

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RE: potential
Die Abbildungen $\begin{eqnarray*} (x,y)\mapsto x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x,y)\mapsto0 \end{eqnarray*}$ sind durchaus stetig.

24.06.2013, 23:33

asdkind

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RE: potential
Dann hab ich beim Satz von Schwarz was nicht verstanden, denn:

Satz von Schwarz:

f(x,y) ist nach x und y zweimal partiell diff'bar und f_x und f_y ist stetig --> fx=fy

Umkehrung:

$\begin{eqnarray*} f_x \neq f_x \end{eqnarray*}$ f(x,y) ist nach x und y nicht zweimal partiell diff'bar oder f_x und f_y sind nicht stetig.

Dann müsste f(x,y) ja nicht zweimal partiell diff'bar sein(wenn die Abbildungen stetig sind)?!

24.06.2013, 23:35

Che Netzer

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RE: potential

Zitat:

Original von asdkind
f(x,y) ist nach x und y zweimal partiell diff'bar

Was ist in diesem Fall $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ? (zentrale Frage!)

Zitat:

und f_x und f_y ist stetig --> fx=fy

Hier stimmt was nicht...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_x \neq f_x \end{eqnarray*}$ f(x,y) ist nach x und y nicht zweimal partiell diff'bar oder f_x und f_y sind nicht stetig.

Auch hier steht Unsinn.

24.06.2013, 23:37

asdkind

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RE: potential
soll natürlich:

Umkehrung:

$\begin{eqnarray*} f_x \neq f_y \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(x,y) ist nach x und y nicht zweimal partiell diff'bar oder f_x und f_y sind nicht stetig.
[/quote]

24.06.2013, 23:45

asdkind

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RE: potential

Zitat:

Was ist in diesem Fall $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$

f ist die Funktion bevor der "Gradient-operator" auf sie angewendet wurde.

Zitat:

Hier stimmt was nicht...

Entschuldigung, aber ich verstehe nicht, was hier nicht stimmt. Könntest du das bitte richtig stellen?

24.06.2013, 23:47

Che Netzer

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RE: potential

Zitat:

Original von asdkind
f ist die Funktion bevor der "Gradient-operator" auf sie angewendet wurde.

Warum sollte die existieren? Genau das sollst du doch zeigen oder widerlegen.
Wenn du annimmst, dass diese existiert, solltest du diese Annahme zu einem Widerspruch führen können.

Zitat:

Entschuldigung, aber ich verstehe nicht, was hier nicht stimmt. Könntest du das bitte richtig stellen?

Wieso sollten denn $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ in diesem Falle gleich sein?

24.06.2013, 23:54

asdkind

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RE: potential

Zitat:

Wieso sollten denn $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ in diesem Falle gleich sein?

oh, jetzt verstehe ich, wo der Fehler liegt. Ich meine natürlich f_xy und f_yx.

Zitat:

Warum sollte die existieren? Genau das sollst du doch zeigen oder widerlegen. Wenn du annimmst, dass diese existiert, solltest du diese Annahme zu einem Widerspruch führen können.

Ja, gerade da sehe ich eben nciht, wie mich der Satz von Schwarz weiter bringt, da der ja nur eine Aussage bzgl der 2. partiellen Ableitungen macht verwirrt

verwirrt

24.06.2013, 23:56

Che Netzer

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RE: potential

Zitat:

Original von asdkind
Ja, gerade da sehe ich eben nciht, wie mich der Satz von Schwarz weiter bringt, da der ja nur eine Aussage bzgl der 2. partiellen Ableitungen macht verwirrt

verwirrt

Und die sind von Interesse.
Wenn ein solches $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ existieren würde, dann würde der Satz von Schwarz $\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$ liefern.

25.06.2013, 00:00

asdkind

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RE: potential
ich weiß nicht, ob ich das richtig verstehe, aber:

Wenn ein solches f existieren würde, dann müsste der satz von Schwarz liefern, dass
$\begin{eqnarray*} f_{xy}=f{yx} \end{eqnarray*}$ ist?

Das bedeutet, dass jedes Potential diese Bedingung erfüllt? Sorry, aber verstehe nicht, warum das so sein sollte?

25.06.2013, 00:02

Che Netzer

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RE: potential
Wenn ein Potential $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ existiert, so muss $\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$ gelten.
Wenn ein Potential $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ existiert, so kennst du aber auch $\begin{eqnarray*} f_{xy} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{yx} \end{eqnarray*}$ , indem du die Komponenten des Gradienten ableitest.

25.06.2013, 00:06

asdkind

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RE: potential
ok, in diesem Fall existiert wohl keins. Da $\begin{eqnarray*} f_{xy} \neq f_{yx} \end{eqnarray*}$ .

Allerdings verstehe ich wirklich nicht, warum, wenn ein Potential existiert, der Satz von Schwarz immer gelten muss?

25.06.2013, 00:10

Che Netzer

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RE: potential

Zitat:

Original von asdkind
Da $\begin{eqnarray*} f_{xy} \neq f_{yx} \end{eqnarray*}$ gelten würde.

Zitat:

Allerdings verstehe ich wirklich nicht, warum, wenn ein Potential existiert, der Satz von Schwarz immer gelten muss?

Das Potential wäre nach Voraussetzung ( $\begin{eqnarray*} \nabla f \end{eqnarray*}$ existiert und ist sogar bekannt) differenzierbar. Außerdem sieht man aufgrund der (stetigen) Differenzierbarkeit des Gradienten, dass dieses Potential auch ein weiteres mal, also zweimal (stetig) differenzierbar wäre.
Damit müsste der Satz von Schwarz gelten.

Wäre das, was als Gradient vorgegeben wird, nicht (stetig) differenzierbar, so würde der Satz von Schwarz für ein Potential ohnehin nicht gelten.

25.06.2013, 00:11

asdkind

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RE: potential
ok, so ist ein Potential definiert:

Ein Skalarfeld ist genau dann ein Skalarpotential, wenn es in einem einfach zusammenhängenden Gebiet zweimal stetig differenzierbar ist, das heißt keine „Sprünge“, Stufen oder andere Unstetigkeitsstellen enthält; (Quelle: Wikipedia)

Dann hats sichs ja wohl ereldigt.

Sorry für die dumme Fragerei dann!

Vielen dank für deine Hilfe!

Gute Nacht!

25.06.2013, 00:20

Che Netzer

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RE: potential
In diesem Fall fordert man gar nicht die zweimalige stetige Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , sondern erhält diese aus der stetigen Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ existiert).

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