Orthogonalität des Sinus

24.06.2013, 23:39

freddy90

Orthogonalität des Sinus

Meine Frage:
ich habe mich gerade daran versucht die orthogonalität des sinus zu zeigen,
soll heißen

$\begin{eqnarray*} \int_0^l \! sin(\frac{k\pi x}{l})sin(\frac{j\pi x}{l})\, dx= 0, j\neq k \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \int_0^l \! sin(\frac{k\pi x}{l})sin(\frac{j\pi x}{l})\, dx= \frac{l}{2}, j= k \end{eqnarray*}$

mit k, j aus den natürlichen Zahlen.

folgendes hab ich (schon)
$\begin{eqnarray*} &\int_0^l \! sin(\frac{k\pi x}{l})sin(\frac{j\pi x}{l})\, dx \\ <br /> &=\int_0^l \! \frac{1}{2}[cos((k-j)\frac{\pi x}{l})-cos((k+j)\frac{\pi x}{l})]\, dx\\ <br /> &=\frac{1}{2}[\frac{l}{\pi (k-j)}sin((k-j)\pi)-\frac{l}{\pi(k+j)}sin((k+j)\pi)] \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
mein Ergebnis verwirrt mich jedoch, da ich nun sowohl für j=k also auch für j ungleich k 0 herausbekomme?
wo liegt mein Denkfehler?

gruß freddy

24.06.2013, 23:48

freddy90

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okay hat sich erledigt.
beim fall j=k muss man l'Hospital anwenden um auf l/2 zu kommen.
manchmal sieht man eben den wald vor lauter bäumen nicht…

24.06.2013, 23:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von freddy90
beim fall j=k muss man l'Hospital anwenden um auf l/2 zu kommen.

Wo möchtest du l'Hospital anwenden? geschockt

In diesem Fall ist deine Integration falsch.

24.06.2013, 23:57

freddy90

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Zitat:

Original von Che Netzer

Wo möchtest du l'Hospital anwenden? geschockt

für den fall k=j geht der Nenner des ersten terms meines ergebnisses gegen null. da würde ich l'Hospital anwenden

Zitat:

[i]In diesem Fall ist deine Integration falsch.

wo stimmt's denn nicht?

25.06.2013, 00:05

Che Netzer

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Für $\begin{eqnarray*} k=j \end{eqnarray*}$ ist der Nenner Null, er geht nicht gegen Null.
Du schreibst dann
$\begin{eqnarray*} \int_0^l\cos\left(0\cdot\frac{\pi x}l\right)\dx=\frac10\frac l\pi\sin(0\cdot\pi)\,. \end{eqnarray*}$

25.06.2013, 00:12

freddy90

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Zitat:

Original von Che Netzer
Für $\begin{eqnarray*} k=j \end{eqnarray*}$ ist der Nenner Null, er geht nicht gegen Null.

kann man daraus nicht eine grenzwertbetrachtung machen?

25.06.2013, 00:17

Che Netzer

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Nein.
Was sollte denn wogegen laufen?

Wenn du $\begin{eqnarray*} \frac00 \end{eqnarray*}$ ausrechnen sollst (und genau das möchtest du hier tun), kannst du auch nicht einfach einen Grenzwert daraus machen und etwas wie
$\begin{align*} \frac00&=\lim_{x\to0}\frac xx=1\,,&\frac{\sin(0)}0&=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1\,,&\frac{0+0}0&=\lim_{x\to0}\frac{x+x}x=2 \end{align*}$
anstellen.

25.06.2013, 00:32

freddy90

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kann ich nicht dennoch k-j gegen null laufen lassen und hierfür den grenzwert berechnen oder warum funktioniert das nicht?

25.06.2013, 08:10

Che Netzer

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Nein, $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ sind fest. Da kannst du nichts gegen irgendetwas laufen lassen.

25.06.2013, 09:19

jonathan93

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Ich habe diesen Thread gestern auch gelesen und dachte mir auch: Komische Rechnung! Wofür L'Hopital. j und k laufen lassen? Hammer

Katastrophe!!

geh nochmal in dich! und danach in deine Analysis und LAAG Bücher! Lehrer

25.06.2013, 09:53

freddy90

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wenn ich mir das jetzt so durchlese dann schäm ich mich ein wenig für das was ich gestern gepostet hab. war wohl schon ein wenig arg müde… Prost

25.06.2013, 10:08

jonathan93

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Zitat:

Original von freddy90
wenn ich mir das jetzt so durchlese dann schäm ich mich ein wenig für das was ich gestern gepostet hab. war wohl schon ein wenig arg müde… Prost

ja, dann ist alles klar Freude

dir sei verziehen.

Vielleicht werden dir die Denkfehler, die du gemacht hast, später dabei helfen, diese nie wieder zu machen. Von daher hast du dabei ja auch wieder was gelernt Prost

25.06.2013, 10:21

freddy90

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danke euch beiden auf jeden fall für eure übergroße Geduld.

das passiert mir hoffentlich nicht mehr so schnell Tanzen

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