Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion

24.06.2013, 23:53

Nighel123

Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion

Moin.

(*)
Sei I eine offene Teilmenge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ so ist die Umkehrabbildung der stetigen und streng monotonen wachsenden/fallenden Funktion $\begin{eqnarray*} G: I \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend/fallend und stetig. Die Umkehrabbildung heiße

$\begin{eqnarray*} H: G(I) \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nun:

Wenn G stetig differenzierbar ist, ist dann auch die Umkehrfunktion H von G stetig differenzierbar?

Wenn ja, kann man das dann so Zeigen:

Aus (*) folgt $\begin{eqnarray*} H(G(x))=x \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} H'(G(x)) G'(x)=1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} H'(G(x))=(G'(x))^{-1} \end{eqnarray*}$
also ist H' stetig da 1/G' eine Verkettung stetiger Funktionen ist??

Gruß Nickel

25.06.2013, 00:00

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion
Wieso sollte $\begin{eqnarray*} G'(x) \end{eqnarray*}$ invertierbar sein?
Betrachte $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^3 \end{eqnarray*}$ auf einer offenen Menge, welche die Null enthält.

Und informier dich über den Satz von der inversen Funktion.

25.06.2013, 00:05

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion
sry hab das wachsend vergessen

25.06.2013, 00:06

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion
Die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^3 \end{eqnarray*}$ ist streng monoton wachsend.

25.06.2013, 00:07

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion
wie kommst du darauf dass ich $\begin{eqnarray*} G'(x) \end{eqnarray*}$ invertiere?

$\begin{eqnarray*} (G'(x))^{-1} \end{eqnarray*}$

soll

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{G'(x)} \end{eqnarray*}$

sein

25.06.2013, 00:13

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion
Ja, und "Kehrwert bilden" oder so nennt man auch "invertieren".

Ich meinte auch nicht, dass du die Funktion $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ invertierst, sondern den Funktionswert $\begin{eqnarray*} G'(x)\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

25.06.2013, 00:16

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion
ok sry hatte das missverständlich ausgedrückt ich meine:

Wenn G stetig differenzierbar ist, ist dann auch die Umkehrfunktion H von G stetig differenzierbar?

25.06.2013, 00:18

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion
Nein, auch dann nicht, wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ streng monoton (d.h. überhaupt invertierbar) sein soll.

Das Gegenbeispiel ist weiterhin $\begin{eqnarray*} G\colon x\mapsto x^3 \end{eqnarray*}$ .

25.06.2013, 00:23

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion
aso jo ich nehme an das $\begin{eqnarray*} G(x)\neq0\,\, \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ das steht hier aber sogar als Bedingung...

25.06.2013, 00:25

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion

Zitat:

Original von Nighel123
$\begin{eqnarray*} G{\color{red}'}(x)\neq0\,\, \forall x\in {\color{red}I} \end{eqnarray*}$

25.06.2013, 00:28

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion
Forum Kloppe

Neue Frage »

Antworten »

Aus strenger Monotonie und stetiger diffbar folgt stetig diffbare Umkehrfunktion

Verwandte Themen