Betrag

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Kant1001 Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag
Edit (mY+): Titel "entwichtigt" ("Sehr wichtige Frage .."). Wichtig ist alles hier, bitte in der Überschrift keine Drängeleien!!

Wann wende ich den Betrag an wenn er vorgegeben ist`?

z.b. der Betrag von -3+3 ist 0 nach meinem GTR. Ich persönlich hätte 6 gesagt. Das heißt dann wohl, dass ich erst komplett zusammenfassen muss und dann den Betrag anwenden kann oder?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Wenn du

|-3+3| hast, dann ist das Ergebnis Null.

Bei

|-3|+|3| wäre das Ergebnis 6.

Das ist vielleicht zu vergleichen mit einer Klammer. Dort musst du auch zuerst zusammenfassen, was in der Klammer steht.
Kant1001 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.
Kant1001 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte da noch eine Frage.

Ich hätte da noch eine Frage, eventuell kannst du mir da weiterhelfen da es eigentlich im kontext steht zum Betrag.


Ich weiss das folgendes gilt: (Die pi gehört zur Obergrenze, hatte Probleme mit Latex)
Gilt mit a=0 und b=2pi:

2) Gilt dann auch:



Den wenn ich das berechne bei Punkt zwei ist das Ergebnis anscheinend ungleich.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mehr als eine Ziffer Hochstellen möchtest, dann musst du geschweifte Klammern setzen.

^{2\pi}

Mir ist ehrlich gesagt nicht ganz klar was du nun berechnen möchtest.

Wenn du die Funktion



hast, dann kannst du eigentlich auch direkt



berechnen und müsst das Integral nicht "splitten".
Die Funktion ist ja immer positiv. Da brauchst du dich also nicht um negative Flächen kümmern.

Es geht dir jetzt also um folgendes:



und



Wenn ich dich richtig verstanden habe.

Dann sollte die erste Rechnung richtig sein, aber eigentlich auch unnötig. Man muss hier, aus oben genannten Gründen, das Integral nicht in Intervalle einteilen, da



immer positiv ist.

Die zweite Rechnung wäre jedoch falsch.






Allerdings kenne ich mich nicht mit der Sinusfunktion wirklich gut aus, und was ihre Integration angeht. Auch was das Integrieren von einer Funktion in Betragsstrichen angeht.
Da solltest du jetzt also nicht Blind auf mich vertrauen.

Am besten veranschaulichst du dir den Sachverhalt selber mal grafisch.
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kant1001


Ich weiss das folgendes gilt: (Die pi gehört zur Obergrenze, hatte Probleme mit Latex)
Gilt mit a=0 und b=2pi:

2) Gilt dann auch:



---Latex editiert---


Den wenn ich das berechne bei Punkt zwei ist das Ergebnis anscheinend ungleich.


Latex-Tipp: wenn etwas länger als ein Character ist , dann brauchst du die unsichtbare Klammer {}
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



wenn du nun 2 Grenzen für a, b hast ist das Integral nicht simpel.

Es gibt da einen Teil von a bis zur nächsten Nullstelle und dann einige Bogenteile und dann noch einen Restteil bis b.

sieht man das?

----------------------

edit: @gmasterflash: ist doch in deinem Sinne ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap: Wenn das eine Korrektur von dem ist, das ich sagte man könnte auch direkt über die Grenzen integrieren und müsste das Integral nicht aufteilen, dann ja.
Ich weiß eben nicht, wie man eine Funktion in Beträgen integriert und ob man dann auch eine Stammfunktion angeben kann, wo man sich eine Aufteilung sparen kann.

Andernfalls sehe ich den Bezug nicht.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja richtig! aber mal Butter bei die Fische:

wenn a=2 und b= 10 wäre , sehe ich keine Möglichkeit das geschlossen zu integrieren.

der Betrag stellt sich wie üblich als besonders sperrig dar.

Hier also:




-------------------------------

und beim Betrag hab ich mir schon vor langer Zeit jede Tricks abgeschworen:

Es ist und bleibt eine teildefinierte Funktion. Und das sollte man nie vergessen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, deshalb hatte ich ja auch diesen Zusatz unter meiner Antwort verfasst.
Ich dachte es ist vielleicht doch möglich eine Stammfunktion anzugeben so, dass man eben doch über die Nullstellen hinweg integrieren kann.

Dann ist es gut, dass du es nochmal klar gestellt hast.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gmasterflash
Ich dachte es ist vielleicht doch möglich eine Stammfunktion anzugeben so, dass man eben doch über die Nullstellen hinweg integrieren kann.

Möglich ist das schon, aber sie sieht ein wenig komplizierter aus:

,

hier mal mit Integrationskonstante :



Die meisten dürften allerdings eher imstande sein, das mit der Integralaufteilung hinzukriegen als diese Stammfunktion richtig aufzustellen.
Kant10001 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, leider konnte ich mir aus eurer Unterhaltung nicht entnehmen was den nun gilt.
Ich weiss, dass wenn der Betrag im Integral steht, dass ich das Integral wie folgt aufteilen kann:



und es nun diese aufteilung erlaubt oder nicht? Da ja das Ergebnis ungleich ist. Und wenn es nicht erlaubt ist würde mich auf verständlicherweise interessieren wieso nicht.

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatte ich eigentlich schon in meiner ersten Reaktion beschrieben.

Die erste Rechnung ist richtig.
Die zweite nicht.

Stelle es dir doch einmal vor.
Du integrierst die Sinusfunktion über zwei ihrer Nullstellen und setzt dieses dann in den Betrag. Nun ist das Integral über diese beiden Nullstellen jedoch Null, da es sich aufhebt. Wir haben ja zwei identische Flächen. Einmal die positive und die negative.

Wenn du jedoch nun die Fläche bis zur ersten Nullstelle und zur zweiten Nullstelle einzeln berechnest und es dann in den Betrag setzt um es zu addieren, dann heben sich diese nicht weg, weil nun das negative Vorzeichen der zweiten Fläche durch den Betrag entfällt.

Ich hoffe das war jetzt ansatzweise verständlich.
Kant10001 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dann schein ich es verstanden zu haben. Mich würde nun letztendlich noch folgendes interessieren. Bzgl. dem ersten Integral wo der Betrag im Integral enthalten ist, wann wendet man ihn an? Ich habe ihn direkt nach bildung der Stammfunktion angewendet, denn die Stammfunktion ist ja -cos(x) und der Betrag hiervon ist cos(x). Erst danach habe ich obere minus untere Grenze berechnet. Ist das richtig?=
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das ist nicht richtig.
Der Betrag von -cos(x) ist nicht einfach cos(x)

g(x)=|-cos(x)|

wird niemals negativ.

h(x)=cos(x)

jedoch schon.
Daher kann dies nicht stimmen.

Als Stammfunktion müsstest du wohl die Funktion aus dem Beitrag von Hal9000 verwenden.

Andernfalls müsstest du es wahrscheinlich so bererchnen:

Kant10001 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gmasterflash
Nein das ist nicht richtig.
Der Betrag von -cos(x) ist nicht einfach cos(x)

g(x)=|-cos(x)|

wird niemals negativ.

h(x)=cos(x)

jedoch schon.
Daher kann dies nicht stimmen.

Als Stammfunktion müsstest du wohl die Funktion aus dem Beitrag von Hal9000 verwenden.

Andernfalls müsstest du es wahrscheinlich so bererchnen:



Danke, dann kann ich es also so aufteilen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke schon.
Kant10001 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gmasterflash
Ich denke schon.


Jetzt hast du mich unsicher gemacht, sry. traurig
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mir nicht glaubst, dann vielleicht Wolframalpha. Das sagt jedenfalls true.

Klick

smile

Edit: Ich sehe gerade, dass das nicht funktioniert wie ich gedacht hatte.
Du kannst jedenfalls die Rechnung da so eingeben.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Grundregel, mit der du in den meisten Fällen gut fährst, ist: Beträge müssen weg. Und sie können einfach wegfallen, wenn das in den Beträgen Stehende entweder nie negativ oder nie positiv ist.





Im Intervall ist nie negativ, daher gilt dort:
Im Intervall ist nie positiv, daher gilt dort:

Daher kannst du so rechnen:



Und jetzt geht die Rechnung "ganz normal".

Natürlich ist die Lösung hier noch viel zu umständlich. Wenn man sich die -Periodizität von klar macht (siehe nächtliche Zeichnung von Dopap), würde man besser so rechnen:

Kant10001 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Die Grundregel, mit der du in den meisten Fällen gut fährst, ist: Beträge müssen weg. Und sie können einfach wegfallen, wenn das in den Beträgen Stehende entweder nie negativ oder nie positiv ist.





Im Intervall ist nie negativ, daher gilt dort:
Im Intervall ist nie positiv, daher gilt dort:

Daher kannst du so rechnen:



Und jetzt geht die Rechnung "ganz normal".

Natürlich ist die Lösung hier noch viel zu umständlich. Wenn man sich die -Periodizität von klar macht (siehe nächtliche Zeichnung von Dopap), würde man besser so rechnen:



Das hat mir sehr geholfen. Jetzt weiss ich wie mit Beträgen bzgl. Trogometrischen Funktionen und Integralen gerechnet wird. Meine Frage noch:

Ich vermute mal, dass man dieses Integral umschreiben muss, sonst kommt man an eine falsche Lösung. Aber mir ist leider immer noch nicht klar wieso man es hier beim Betrag machen muss. von pi bis 2pi ist ja der Sinus negativ, ist das der Grund?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kant10001
Aber mir ist leider immer noch nicht klar wieso man es hier beim Betrag machen muss. von pi bis 2pi ist ja der Sinus negativ, ist das der Grund?


Ja, das ist der Grund. Weil auf dem gesamten Intervall das NICHT zutrifft:

Zitat:
Original von Leopold
sie können einfach wegfallen, wenn das in den Beträgen Stehende entweder nie negativ oder nie positiv ist.


Deswegen zerlegt man das Intervall in Teilintervalle, in denen das eine oder andere zutrifft. Die Intervalladditivität des Integrals gestattet einem dieses Vorgehen.
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