Ungleichung, Betrag, komplexe Zahlen

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eintopf Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung, Betrag, komplexe Zahlen
Moin moin,
ich habe folgende Aufgabe und weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Normalerweise macht man bei diesem Aufgabentyp ne Fallunterscheidung etc, aber mich irritiert die komplexe Zahl in der Aufgabe. Das ist mir neu.
Ich wäre für Ansätze oder Stichworte dankbar Freude
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Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Setze ein, dann kannst du den Betrag von (in Abhängigkeit vom Real- und Imaginärteil) berechnen.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Setze ein, dann kannst du den Betrag von (in Abhängigkeit vom Real- und Imaginärteil) berechnen.

Wo soll ich das genau einsetzen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

In gibt es eigentlich nur eine Möglichkeit, wo du das einsetzen kannst. Augenzwinkern
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Stand da nicht vorhin noch ein * hinter dem z? Naja, egal.
Dann hätte ich . Daraus ergibt sich dann
Ich hab das mal als Addition betrachtet, da -4+3i nicht in Klammern steht.
und wie gehts dann weiter?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte die 4 denn dann addiert werden? -4 ist doch eindeutig nicht das gleiche wie +4. verwirrt

Wenn du das änderst, kannst du die Definition des Betrags einer komplexen Zahl nachschlagen bzw. anwenden und ausrechenn.
 
 
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Na ich dachte, dass alles, was hinter dem z steht auch eine komplexe Zahl ist. Wenn ich dann also einsetze, so habe ich eine Addition von z1+z2, wobei z2 im zweiten Quadranten liegt.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das erklärt aber trotzdem nicht, wieso du gemacht hast. Lass das einfach als stehen, dann ist es richtig und du kannst den Betrag berechnen.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Hast recht. Fehler von mir.
Ich hab mal den Betrag berechnet und bin jetzt bei
Und nun?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Da solltest du nochmal nachrechnen, das hat da eigentlich nichts mehr zu suchen.

Multiplizier den Ausdruck auch erstmal nicht aus, das macht es leichter eine geometrische Form zu erkennen.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich hab nun folgendes gemacht:

Wirklich was erkennen kann ich da nicht. Es könnte fast ne Kreisgleichung sein, aber da ist mir das i im Wege.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Da solltest du nochmal nachrechnen, das hat da eigentlich nichts mehr zu suchen.


Auch ein sollte da nirgendwo auftauchen! Der Betrag von ist eine reelle Zahl. Und dann liegst du mit der Kreisgleichung auch schon ganz gut.
original Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
Vielleicht noch ein etwas anderer Tipp:

deine Ungleichung



kannst du dir laut mal so vorlesen:

"Gesucht sind alle Punkte z in der Gauss-Ebene, die vom Punkt zo= 4 - 3i .. also von (4 /- 3)
4 oder weniger Einheiten entfernt sind .."

Nimm mal ein Zeichengerät und drehe durch .. dann kannst du die Punktmenge deiner Ungleichung
nachher auch noch anmalen.. -> was siehst du für ein Bildchen ?
(und wie heisst wohl die "passende" Un- Gleichung mit x und y?)

.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von original
verwirrt
Vielleicht noch ein etwas anderer Tipp:

deine Ungleichung



kannst du dir laut mal so vorlesen:

"Gesucht sind alle Punkte z in der Gauss-Ebene, die vom Punkt zo= 4 - 3i .. also von (4 /- 3)
4 oder weniger Einheiten entfernt sind .."

Nimm mal ein Zeichengerät und drehe durch .. dann kannst du die Punktmenge deiner Ungleichung
nachher auch noch anmalen.. -> was siehst du für ein Bildchen ?
(und wie heisst wohl die "passende" Un- Gleichung mit x und y?)

.

Es muss (4+3i) heißen, oder ich habe da wieder etwas nicht verstanden.
Wenn ich das mit dem Zeichnen mache, dann hab ich ja nen Kreis mit r=4 um den Punkt (4/-3) bzw. (4/3), wenn das mit dem Vertauschen von + und - von mir richt gesehen wurde.
Von dem Bild lässt sich für mich aber schlecht auf die Ungleichung schließen.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Zitat:
Original von Iorek
Da solltest du nochmal nachrechnen, das hat da eigentlich nichts mehr zu suchen.


Auch ein sollte da nirgendwo auftauchen! Der Betrag von ist eine reelle Zahl. Und dann liegst du mit der Kreisgleichung auch schon ganz gut.

Tut mir leid, aber das verstehe ich nicht. Wenn ich für z einsetze, dann sieht das für mich ganz klar nach eine Subtraktion/Addition von zwei komplexen Zahlen aus.
original Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eintopf


Es muss (4+3i) heißen, oder ich habe da wieder etwas nicht verstanden. traurig

Von dem Bild lässt sich für mich aber schlecht auf die Ungleichung schließen Gott

.

traurig -> schau dir doch die Ungleichung (siehe oben) an und denke mit

Gott -> du wirst doch wohl die Gleichung eines Kreises
(mit bekanntem Mittelpunkt und bekanntem Radius ) aufschreiben können?
ja?
-> dann hast du den Rand deiner Punktmenge und darfst dir überlegen, verwirrt
wie die Ungleichung aussehen wird für die inneren Punkte..

ok?
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von original
Zitat:
Original von eintopf


Es muss (4+3i) heißen, oder ich habe da wieder etwas nicht verstanden. traurig

Von dem Bild lässt sich für mich aber schlecht auf die Ungleichung schließen Gott

.

traurig -> schau dir doch die Ungleichung (siehe oben) an und denke mit


Dann habe ich etwas nicht verstanden. Ich nehm mir mal ein Buch und lese das Kapitel zu den Ungleichungen nochmal. Vllt verstehe ich dann mehr.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat mit Ungleichungen nicht direkt etwas zu tun, es ist lediglich eine Umformung aus der 6ten Klasse:

Und was den Betrag angeht: schlage doch bitte einmal die genaue Definition des Betrags einer komplexen Zahl nach und wende das bei dieser Aufgabe an, das ist nur stures Einsetzen.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Versuch:

Wenn ich das nun auf die Aufgabe anwende, dann erhalte ich:

Falls das richtig sein sollte, weiß ich aber nicht was mir das ergebnis sagen soll bzw. wie ich das zeichnen soll.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ist wegen eines Vorzeichenfehlers im Imaginärteil (welcher vorher nicht bestand) nicht richtig.
Die geometrische Interpretation wurde dir im Verlauf des Threads schon nahegebracht. Lies dies nochmals aufmerksam durch.
original Auf diesen Beitrag antworten »



smile


Zitat:
Original von mYthos

Ist wegen eines Vorzeichenfehlers smile im Imaginärteil .. nicht richtig.



smile .. lustig ist dann aber noch ,
wie das Quadrat von 4 anscheinend richtig berechnet wurde ?
.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Gehört natürlich 16 hin, aber y - 3 als Imaginärteil ist nach wie vor falsch.

mY+
zyko Auf diesen Beitrag antworten »

@eintopf

Deine Betragsberechnung ist nicht richtig.
Der Betrag einer komplexen Zahl ist

Also die Wurzel aus dem Produkt der Zahl mit ihrem konjugiert Komplexen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Oder einfach die Wurzel aus der Summe der Quadrate von Real- und Imaginärteil.
In diesem Sinne ist die Rechnung - bis auf den Vorzeichenfehler - im Gang richtig.

mY+
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Wie muss der Ausdruck |z-4+3i| lauten?
|z+(4+3i)|
|z+(4-3i)|
|z-(4+3i)|
|z-(4-3i)|
Im Moment halte ich alles für möglich.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sind doch hier bei keinem Ratequiz! Big Laugh
Hier stolperst du über die einfachsten algebraischen Regeln des Vorzeichenwechsels bei der Klammerauflösung. Diese gelten im Komplexen ebenso wie im Reellen.
3 Versionen von den 4 sind falsch und eigentlich sollte dir nach den vorangegangenen Posts schon bewusst sein, welche. Löse einfach die Klammer auf und vergleiche mit der Angabe.
Dass dich das so nicht weiter bringt, ist dir wahrscheinlich auch schon klar geworden.

Weshalb kannst oder willst du die zahlreichen schon gegebenen Hinweise nicht aufgreifen?

Also nochmals: Setze z = x + iy, x,y sind reell

z - 4 + 3i = x + iy - 4 + 3i, ordne nun nach Real- und Imaginärteil. Dann bilde den Betrag nach den bekannten Regeln. Das hatten wir alles schon, nur war dort noch ein Fehler darin.
Zuletzt kommt die geometrische Interpretation der in x und y vorliegenden Gleichung, worüber es in diesem Thread auch schon einen Hinweis gab.

Zu der gesuchten Punktmenge kommt man auch ohne Umrechnung direkt in der Gauß'schen Zahlenebene, wie es original beschrieben hat:

Zitat:
Original von original
...
deine Ungleichung



kannst du dir laut mal so vorlesen:

"Gesucht sind alle Punkte z in der Gauss-Ebene, die vom Punkt zo= 4 - 3i .. also von (4 /- 3)
4 oder weniger Einheiten entfernt sind .."
...


mY+
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »


Das hab ich jetzt als Ergebnis.
Nach dem was ich so im Internet und Büchern gefunden habe, liegt mir nun ein Kreis mit dem Mittelpunkt (-4/3) und alle Zahlen die im Radius Wurzel(16) oder kleiner sind irgendwie gesucht. Warum auch immer?!
So ähnlich stand das ja auch irgenwo hier im Thread
original Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eintopf



Das hab ich jetzt als Ergebnis. Freude

.. liegt mir nun ein Kreis mit dem Mittelpunkt (-4/3) unglücklich


................................... traurig

und nochmal:
die UNGLEICHUNG ... <16
sagt dir, dass alle diese Lösungspunkte weniger als 4 Einheiten vom Mittelpunkt
des Kreises entfernt sind ->
Klartext: du kannst das Innere des Kreises (und dessen Randlinie) bunt anmalen
und siehst dann denn gesamten bunten Lösungspunktebrei vor dir.

.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Ha, wohl auch der Grund warum ich es nie schaffen werde.
Ich hatte das mit der 4 schon fest in meinem Kopf und eigentlich auch im Text geändert gehabt, aber bin dann beim Durchlesen wohl doch nochmal nen Gedanken zurückgegangen. unglücklich

Ist der Kreismittelpunkt etwa bei (3/-4)?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eintopf

Das hab ich jetzt als Ergebnis.
...

Nun, die Ungleichung ist endlich richtig, noch nicht aber die geometrische Interpretation. Offensichtlich hast du Schwierigkeiten mit der Kreisgleichung.

Alle Punkte (x; y), die die obige Ungleichung erfüllen, liegen in der gesuchten Lösungsmenge. Diese hat eine Randlinie, deren Gleichung lautet



Vergleiche diese mit der Gleichung eines Kreises, Mittelpunk M(m; n), Radius r



Damit ist der Mittelpunkt (diesmal richtig) und der Radius festzulegen. Wo liegen nun alle Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung erfüllen?
Hinweis: Auf der linken Seite steht das Quadrat des Abstandes der in Frage kommenden Punkte vom Mittelpunkt, rechts das Quadrat des Radius. Der Abstand selbst ergibt sich durch Wurzelziehen.

Klar ist, dass wir uns noch immer in der Gauß'schen Zahlenebene befinden. Alle Lösungspunkte markieren daher die komplexe Lösungsmenge der Ungleichung, sie sind die Endpunkte der zugehörigen Pfeile (Zeiger), durch die diese komplexen Zahlen symbolisiert werden

mY+
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

wurde nicht schon mal geschrieben, dass alle Punkte die im Radius 4 oder weniger um den Mittelpunkt liegen, gesucht sind? Das hätte ich verstanden.
Zitat:
Auf der linken Seite steht das Quadrat des Abstandes der in Frage kommenden Punkte vom Mittelpunkt

Dieser Satz verwirrt mich. Soll es heißen, dass alle Punkte die auf der Kreislinie im Abstand 4 vom Mittelpunkt liegen, gesucht sind?
Und warum hast du jetzt ein Gleichheitszeichen verwendet? Es ist doch eine Ungleichung.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend fehlen dir Grundlagen zur Kreisgleichung aus der Schule...

Die Menge beschreibt einen Kreis bzw. die Kreislinie bzw. den Kreisrand mit Mittelpunkt und Radius . Das lässt sich ganz elementar unter Verwendung des euklidischen Abstandsbegriff im herleiten (siehe z.b. auch hier).

Jetzt betrachten wir zuerst einmal , dann bekommen wir den Kreis mit welchem Mittelpunkt und welchem Radius? Wenn du das hast, kannst du dir Gedanken machen, was für Punkte noch dazukommen, wenn wir die Ungleichung betrachten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Anscheinend fehlen dir Grundlagen zur Kreisgleichung aus der Schule...


O Iorek! (*seufz*)
Das waren noch Zeiten ...

Du ahnst nicht, was sich inzwischen in der Schule alles getan hat.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eintopf
wurde nicht schon mal geschrieben, dass alle Punkte die im Radius 4 oder weniger um den Mittelpunkt liegen, gesucht sind? Das hätte ich verstanden.

So ist es!

Zitat:
Original von eintopf
...
Und warum hast du jetzt ein Gleichheitszeichen verwendet? Es ist doch eine Ungleichung.

Das Gleichheitszeichen gilt nur für die Randlinie, wie schon geschrieben ...
(Und in der Ungleichung ist es auch enthalten, wenn du genau hinsiehst!)

Und schreibe bitte mal den Mittelpunkt richtig hin.

mY+
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold,

Wurde die mittlerweile auch gestrichen? verwirrt

Also den Unfug mit "Sinus, aber kein Cosinus" oder "Nene, den Logarithmus brauchen wir nicht" kenne ich schon, aber zumindest meine diesjährigen Abiturienten haben die Kreisgleichung alle noch gekannt (kann natürlich auch Glück gewesen sein, dass ich sie von genau den 4 Schulen waren, die die Kreisgleichung noch machen...)

Womit fängt man denn dann demnächst auf der Uni an? "Sehr geehrte Studierende, herzlich Willkommen zur ersten Vorlesung Lineare Algebra. Man nennt die Menge der rationalen Zahlen. Da diese Menge für Sie alle unbekannt ist, wollen wir uns die nächsten 3 Wochen zunächst mit dem Addieren und Multiplizieren solcher Zahlen beschäftigen. Bis zum Ende des Semesters sollten sie dann auch Subtrahieren und Dividieren können, aber vllt. schieben wir das aus Zeitgründen ins zweite Semester."
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann nur aus Baden-Württemberg oder Bayern berichten. Da war in den letzten Jahrzehnten die Kreisgleichung noch nie Unterrichtsstoff. Allerdings haben viele Lehrer sie als Anwendung des Satzes des Pythagoras oder Skalarproduktes behandelt. Dafür ist jetzt aber keine Zeit mehr.
Und deine letzte (ironische?) Anfrage wird bald bittere Wahrheit sein. Viele Abiturienten sind heute nicht in der Lage, die Division durchzuführen, weder also formale Rechnung noch daß damit irgendeine inhaltliche Vorstellung verbunden wäre.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es hätte ironisch sein sollen, leider bekomme ich das aber (zum Glück noch nicht ganz in dieser Form) selbst in meinen Tutorien immer häufiger zu spüren bzw. zu sehen. Bei "Fachidioten" die später nur mit und etwa rechnen müssen...optimal ist das natürlich nicht. Wenn allerdings auch angehende Lehrer sämtliche Regeln der Bruchrechnung ignoriere, lustig einzelne Summanden aus Zähler und Nenner kürzen oder nicht wissen, wie man die pq-Formel anwendet...mir graut vor der mathematischen Ausbildung der nächsten Schülergenerationen, wenn sich das so fortsetzt.

Aber das wird mittlerweile zu sehr OT, wir können das ja bei Bedarf in den entsprechenden Bereich verlagern. Augenzwinkern
original Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek

... dass ich sie von genau den 4 Schulen waren, smile

die die Kreisgleichung noch machen...)

Elementarste Probleme gibt es ja nicht nur in der Mathematik smile
Sei mir aber bitte nicht böse ->
klar vertippt ..
aber trotzdem schön, nachher noch zu erfahren, dass "Schulen .. machen." Prost
.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt ebend dabei raus, wenn sich die Schulen noch nicht entscheiden haben, wie viel Taschenrechner nützlich ist bzw. warum soll man 4 Wochen trockene Theorie machen, wenn man danach einen kleinen Befehl für den Taschenrechner bekommt, der das ganze vorher gelernte Überflüssig macht? Ich selbst hab Schwierigkeiten mit dem Fachjargon der Mathematik. Und bei uns an der Uni, müssen sich die Leute auch immer mit den Studenten der verschiedenen Bundesländern rumärgern. Die Bayern können alle diese Mitternachtsformel reflexartig runterbeten, während ich mir noch nicht mal die dritte binomische Formel mekren kann. Liegt aber wohl auch an meinem Interlekt, dass ich alles innerhalb einer Woche vergesse, wenn ich nicht mindestens zwei Mal täglich daran denke.
Zurück zum Thema: Hab mich bei der Findung des Mittelpunkts nach diesem Dokument gerichtet. Aber ich verstehe das auch immer wieder anders. Meine jetzige Idee wäre z.B., dass der Mittelpunkt (4/-3). Wenn ich von der Ungleichung

Edit (mY+): Der Link ist unleserlich, schreibe doch lieber die eine Zeile mit dem Formeleditor!



ausgehe, dann ist a=4 und b=-3
Den Radius würde ich bei 4 sehen, weil 4²=16. Aber hatte ich das nicht schon geschrieben?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Wurde die mittlerweile auch gestrichen? verwirrt

Bei uns (Berlin) wurden Kreis- und Kugelgleichungen nur in einem Schülervortrag zum Thema.
Ich hätte dem Handout extra noch ein paar zusätzliche Informationen angefügt; die wurden erst aber gar nicht ausgeteilt (sondern nur die ersten beiden Seiten mit den nötigsten Themen).

Zitat:
Original von Leopold
Viele Abiturienten sind heute nicht in der Lage, die Division durchzuführen.

Stimmt leider vollkommen.
Als ich letztens einer Ana1-Tutorin beim Korrigieren der Hausaufgaben geholfen hatte, stand dort fett unterstrichen als Ergebnis
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