Lagebeziehung und Abstande zwischen zwei Ebenen (Koordinatenform + Normalform)

25.06.2013, 17:16	bittebitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagebeziehung und Abstande zwischen zwei Ebenen (Koordinatenform + Normalform) Meine Frage: Also, hier die Aufgabe: Gegeben ist die Ebene: $\begin{eqnarray} E: 2x_1 -x_2 +5x_3=7 \end{eqnarray}$ . Untersuchen Sie, ob die Ebene F parallel zur Ebene E ist und berechnen Sie gegebenenfalls den Abstand der Ebenen. $\begin{eqnarray} F:[ \vec{x} -\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} ] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich gehe eigentlich davon aus, dass die beiden Ebenen parallel sind... Nur dafür muss ich doch die Normalenvektoren betrachten. Der ist doch bei E $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und bei F $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und somit weder ein Vielfaches noch der gleiche.... Also sind die Ebenen nicht parallel, oder? Oder was ist der Fehler? Ich mein, es ist ja Unsinn in die Aufgabenstellung zu schreiben, wenn die Ebenen parallel sind, berechne den Abstand und, dass dann die Ebene nicht parallel ist und man dann nichts macht Danke für eure Hilfe!
25.06.2013, 17:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbst, wenn sie nicht parallel sind, haben sie doch einen Abstand, oder nicht? Möglicherweise handelt es sich aber auch um einen Schreibfehler und der Normalvektor sollte die x-Koordinate -2 haben. Lässt sich natürlich schlecht sagen.
25.06.2013, 18:56	bittebitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sollen sie denn einen Abstand haben? Der ist ja wohl über all anders. Man könnte doch nur einen Abstand zwischen einem Punkt auf der einen Ebene und einem Punkt auf der anderen Ebene berechnen... oder?
26.06.2013, 17:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss dem Fragesteller Recht geben. Wenn die Ebenen nicht parallel sind, kann man NICHT mehr von einem gegenseitigen Abstand dieser Ebenen sprechen. Aber @bittebitte (welch einfallsreicher Name!), warum gehst du nicht auf den Tipp von Helferlein ein? Es wird sich bei der Angabe mit Sicherheit um einen Schreibfehler handeln! Vergleiche doch nochmals den Beitrag mit deiner gegebenen Aufgabe!! mY+
26.06.2013, 19:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Begriff des Abstands zwischen zwei Mengen ist als Infimum aller Punktabstände zwischen diesen Mengen definiert. Es wird nicht vorausgesetzt, dass die Schnittmenge leer sein muss. Sinnvoll ist die Forderung allerdings schon, da ansonsten der Abstand Null beträgt.

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