Ermittlung einer Geraden, die durch P und 2 Geraden geht

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26.02.2007, 19:57	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
Ermittlung einer Geraden, die durch P und 2 Geraden geht Beide geraden gegeben durch: g1: P1(0/1/0), $\begin{eqnarray} a1= \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ g2: P2(2/4/0), $\begin{eqnarray} a2= \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und der Punkt P3 (6/2/8) ist bekannt. Es soll nun eine Gerade h ermittelt werden, welche P3 und die beiden anderen geraden schneidet. Ich hab bislang noch Probleme mit Vekoteren aber ich habe mir gedacht dass man hier mit der Schnittgeraden zweier Ebenen arbeiten könnte...also diese Schnittgerade wäre dann die gesuchte Gerade h. Jetzt weiss ich aber nicht wie ich in diese Ebenen den Punkt und g1 und g2 verpackenn soll.
26.02.2007, 20:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der von dir beschriebenen Ebene sehe ich wenig Chancen. Stelle vielmehr mit dem gegebenen Punkt und je einem allgemeinen Punkt der beiden Geraden (Parametersdarstellung!) zwei Vektoren auf und erstelle eine Beziehung mit der Tatsache, dass diese beiden Vektoren kollinear sein müssen. mY+
26.02.2007, 20:11	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
hm komisch mein lehrer hat aber selbst diese variante vorgeschlagen..naja
26.02.2007, 20:12	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
sie sagen einen vektor bilden mit einem gemeinsamen punkt von g1 und g2...die beiden geraden sind windschief
26.02.2007, 20:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sagte NICHT mit einem gemeinsamen Punkt .. es steht doch: .. mit .. je einem allgemeinen Punkt der beiden Geraden, die natürlich nicht gleich sind. Und: Mhhm, nach Überlegung meinerseits kann man es doch auch mit einer Schnittgeraden zweier Ebenen versuchen, da war ich wohl etwas zu schnell. Wenn du diese Lösung bevorzugst - sicher auch nicht schlecht Wie sehen nun diese beiden Ebenen aus, bzw., welche Elemente müssen sie enthalten? (Bemerkung: Die zuerst genannte Methode führt auf ein System von 3 (einfachen) Gleichungen ..) mY+
26.02.2007, 20:36	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
... ja das hab ich mich auch gefragt...so wie ich das sehe nehme ich die erste gerade und und setzte statt P1..P3 ein und bilde irgendwie mit dem ganzen eine ebene die sozusagen kollinear zu g1 ist (g1. und diese ebene liegen dann in der selben EBENE). und jetzt müsste ich irgendwie eine eben mit der 2 geraden bilden und diese durch p3 die erste ebene schneiden lassen. damit hab ich dann h ermittelt...hoffentlich stimmen meine wirren gedanken...ich hab wirklich schwierigkeiten mit den vekotren
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26.02.2007, 20:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, der Weg ist so richtig! In Kurzform: Ebene E1 aus g1 und P3 ermitteln, desgleichen Ebene E2 aus g2 und P3, diese beiden schneiden, ergibt die gesuchte Gerade h! Nun dann mal los! Wenn du das richtig erledigt hast, zeige ich dir die andere Methode. mY+
26.02.2007, 20:57	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
oh gott sei dank...meine überlegungen waren doch nicht so falsch ist das richtig? : E1: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ______________________________________ ich meine ... $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -6 \\ -1 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
26.02.2007, 21:14	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
.. den letzten Vektor bei s kann ich nicht nachvollziehen! Soll der P3P1 sein? Dann ist er falsch. mY+
26.02.2007, 21:17	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
das soll p1 - p3 sein
26.02.2007, 21:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Na und? Der ist falsch, das habe ich dir doch schon geschrieben! Wie kommst du auf den? Bemerkung: Du musst deine Rechnung schon selbst zeigen, nur dann lernst du dabei und allenfalls kann dir dann gesagt werden, wo der Fehler liegt! Also: Vorrechnen von uns funkt von vornherein nicht mY+
26.02.2007, 21:48	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
muss es p1-p3 oder p3-p1 heißen? bei p1 - p3 hab ich gerechnet $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ___________________________________________ ohh ich hab schon wieder ein fehler entdeckt ..da müsste $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -6 \\ -1 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ rauskommen ___________________________________________ aber so weit wie ich mich erinnern kann müsste es ja eigentlich P3-P1 heißen also kommt $\begin{eqnarray} s \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus [3-fach Post zusammengefügt]
26.02.2007, 22:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
.. das ist im Endeffekt egal, denn das Vorzeichen des ganzen Vektors geht in den Parameter ein. Jetzt stimmt das also. Nun weiter mit der anderen Ebene, trau dich doch mal, mehr zu rechnen! Wirf mal deine Lösung raus [Lösg.: Gerade durch (2;4;0) und (0;5;-4)] mY+
26.02.2007, 22:59	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich habe jetzt das komplette durchgerechnet: reicht es wenn ich das endergebnis aufschreibe? h: x= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
26.02.2007, 23:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es! Allerdings ist das jetzt auffallend schnell gegangen. Hast du etwa nur die beiden von mir angegebenen Punkte verwendet? Ist es dir schon zu spät für die andere Methode? Es ist kein Problem, ich kann's ja dennoch mal hinschreiben, oder bist du so schon zufrieden? mY+
26.02.2007, 23:07	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
E1: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ E2: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Normalengleichung zu E1: -3x+2y+2z=2 Normalengleichung zu E2: x + 10y+2z=42 h muss n1a=0 und n2a=0 erfüllen also -3a1+2a2+2a3=0 und a1 + 10a2+2a3=0 mit einer matrix ermittle ich den Richtungsvektor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ____________________________________________ oh ich sehe sie haben schon geantwortet war grad dabei meine rechnung zu erläutern..ist das endergebnis wirklich RICHTIG!!!??? ____________________________________________ mir ist nicht mal aufgefallen dass sie mir diese punkte angegeben haben... (2/4/0)...hab das alles eben sehr lange gerechnet aber trotzdem vielen danke sie haben mir sehr geholfen [Mod: 3-fach Post zusammengefügt]
26.02.2007, 23:14	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschah's! Bravo, du hast es ja am Ende sehr gut gemacht! Übrigens: "DU" ist schon OK! Gute Nacht und viel Erfolg! mY+
26.02.2007, 23:16	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
ok nochmal vielen dank..
26.02.2007, 23:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Interessierte und der Vollständigkeit halber möchte ich gerne noch die zuvor angesprochenen Methode erörtern. Wir können die beiden Punkte X1 und X2 auf g1 und auf g2, in denen die gesuchte Gerade h die anderen beiden Geraden schneidet, bereits allgemein angeben, weil sie ja durch die Parametergleichungen beschrieben werden: $\begin{eqnarray} \vec{X_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1-r \\ 8-r \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{X_2} = \begin{pmatrix} 4+2s \\ -2 \\ 8-s \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun müssen die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{X_1P_3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{X_2P_3} \end{eqnarray}$ kollinear sein, das heisst $\begin{eqnarray} k \cdot \vec{X_1P_3} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{X_2P_3} \end{eqnarray}$ wobei k ein konstanter Proportionalitätsfaktor ist. Es folgt $\begin{eqnarray} k \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1+r \\ 8-r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 2s \\ -2 \\ 8-s \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6k = 4 + 2s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1 + r)k = -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (8 - r)k = 8 - s \end{eqnarray}$ --------------------------------------- Division, um k zu eliminieren $\begin{eqnarray} \frac{6}{1+r} = -2 - s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{8-r}{1+r} = -4 + \frac{s}{2} \end{eqnarray}$ _______________________________________ $\begin{eqnarray} \to r = -4, \ s = 0 \to X_1, \ X_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{X_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{X_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h = g(X_1, X_2) \end{eqnarray}$ mY+

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