Lokales Extremum für jede Gerade, aber nicht gesamt

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unr8d Auf diesen Beitrag antworten »
Lokales Extremum für jede Gerade, aber nicht gesamt
Hi,

in unendlich dimensionalen Räumen kann man wohl Funktionen bilden, die eine Stelle haben, welche auf jedem Strahl ein lokales Extremum ist, jedoch nicht für die gesamte Funktion.

Könnte mir bitte jemand ein Beispiel für sowas geben oder ein Stichwort bzw einen Link zu diesem Thema?
Ich werde gerade leider nicht fündig.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lok. Extremum für jede Gerade, aber nicht gesamt
Das gibt es schon im Zweidimensionalen:
unr8d Auf diesen Beitrag antworten »

Die Maxima wären dann ja praktisch alle Punkte auf dem Parabelast in positivem x-Bereich.
Das sind aber doch auch alles globale Maxima.

Also sowas sollte es wirklich nur für unendlich dimensionale Funktionen geben, jedenfalls meint mein Skript das. (In einer Randbemerkung, auf die nicht weiter eingegangen wird und nun war ich interessiert, wie sowas aussehen könnte.)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du irgendeine Gerade durch den Nullpunkt betrachtest, hat auf dieser Geraden ein lokales Maximum (und Minimum) im Nullpunkt.
Denn dann ist höchstens in einer Stelle ungleich Null.

Betrachtet man aber auf ganz , so hat kein Extremum im Nullpunkt.
unr8d Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gerade x=0 ist doch an jeder Stelle 0.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, deshalb schrieb ich "höchstens".

Edit: Naja, ist auf dieser Geraden Null, nicht die Gerade selbst.
 
 
unr8d Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht. Ich war verwirrt durch die Aussage in meinem Skript, entschuldige.

Hier steht zwar "Es gibt Funktionen, die eine Stelle haben, die auf jedem Strahl ein lokales Minimum ist, aber kein lokales Minimum der Funktion selber. Solche Funktionen gibt es aber nur in unendlich dimensionalen Räumen."

Vermutlich sind strikt lokale Extrema gemeint.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Fall betrachte

Dann hast du auf jeder Geraden durch den Nullpunkt ein striktes lokales Minimum in ebenjenem.
Mit "Strahl" ist auch eine Gerade/ein eindimensionaler affiner Unterraum gemeint, der die betreffende Stelle enthält?
unr8d Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem ich jetzt nochmal genau nachgelesen habe, weißt der Kontext wohl darauf hin, dass von stetig differenzierbaren Funktionen die Rede ist.
So wie es insgesamt formuliert ist, ist das ganze aber mehr als verwirrend.
Jedenfalls hast du offensichtlich Recht, dass es prinzipiell schon im R^2 möglich ist.
Deshalb schon mal vielen Dank für deine Mühe soweit.
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