Übertragungsfunktion/Transferfunktion ins Bode-Diagramm

25.06.2013, 21:21

Thomas-070

Übertragungsfunktion/Transferfunktion ins Bode-Diagramm

Hallo zusammen,

ich muss folgende Aufgaben lösen:

a) Eine gegebene Übertragunsfunktion/Transfarefunktion in ein Bode-Diagramm zeichnen s. Anhang.

$\begin{eqnarray*} H_1 (j \omega)=\frac {100j \omega T}{j \omega T + 10} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} T=1s \end{eqnarray*}$

Mein Versuch:
In unserem Skript steht fast gar nichts zu dieser Aufgabe - selbst diese Funktion in dieser Form ist dort nicht vorhanden unglücklich

Ich habe jetzt lange im Internet nach Übertragunsfunktion/Transfarefunktion, Hochpass/Tiefpass recherchiert und habe auch da die Formel nicht gefunden.

Deshalb habe ich einfach im Alleingang folgendes versucht:

Ich habe für die vier Werte 1, 10, 100 und 1000 die Funktion über Division komplexer Zahlen ausgerechnet und folgendes dabei bekommen:

------------------------------------------------
Für $\begin{eqnarray*} \omega=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1 (j \omega)=\frac {100}{101}+j \cdot \frac {1000}{101} \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------

------------------------------------------------
Für $\begin{eqnarray*} \omega=10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1 (j \omega)=50+5j \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------

------------------------------------------------
Für $\begin{eqnarray*} \omega=100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1 (j \omega)=\frac {10000}{101}+j \cdot \frac {1000}{101} \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------

------------------------------------------------
Für $\begin{eqnarray*} \omega=1000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1 (j \omega)=\frac {1000000}{10001}+j \cdot \frac {10000}{10001} \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------

Ich stehe jetzt auf dem Schlauch und weiß nicht genau, wie ich diese Werte ins Bode-Diagramm eintragen soll verwirrt

Außerdem habe ich den Index 1 $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ nicht verstanden, wozu er steht?!?

b) Welche Frequenzen überträgt das lineare System besonders gut und wie nennt man so ein System?

Die Aufgbabe b) basiert wahrscheinlich auf dem Ergebnis von a),
aber ich vermute, dass es sich bei diesem System um ein Tiefpass handelt, denn in unserem Skript steht nur etwas über Tiefpass.
Das ist natürlich nur geraten...

Könnt ihr mir bitte dabei helfen?

Vielen Dank vorab

Schöne Grüße Hilfe

26.06.2013, 10:55

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Übertragungsfunktion/Transferfunktion ins Bode-Diagramm

Zitat:

Original von Thomas-070
Ich stehe jetzt auf dem Schlauch und weiß nicht genau, wie ich diese Werte ins Bode-Diagramm eintragen soll

Für die vier Frequenzen berechnest Du die Beträge dieser komplexen Zahlen. Das gibt die vier Punkte, die ins Diagramm gehören. Dann noch verbinden.

Zitat:

Original von Thomas-070
ich vermute, dass es sich bei diesem System um ein Tiefpass handelt, denn in unserem Skript steht nur etwas über Tiefpass.

Das Diagramm enspricht den Diagrammen, die Du bestimmt als Frequenzgang von Verstärkern und Lautsprechern kennst. Das sollte weiterhelfen.

Viele Grüße
Steffen

26.06.2013, 12:35

Thomas-070

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Steffen,

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Für die vier Frequenzen berechnest Du die Beträge dieser komplexen Zahlen. Das gibt die vier Punkte, die ins Diagramm gehören. Dann noch verbinden.

herzlichen Dank für die Hilfe, darauf wäre ich von alleine gar nicht gekommen Freude

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Das Diagramm enspricht den Diagrammen, die Du bestimmt als Frequenzgang von Verstärkern und Lautsprechern kennst. Das sollte weiterhelfen.

Nein, damit habe ich mich leider noch nicht beschäftigt. Ich werde es dann gleich tun...

Liebe Grüße

26.06.2013, 12:43

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Prima, das Prinzip hast Du verstanden.

Allerdings hapert's noch ein wenig beim Einzeichnen. Bei w=1 ist H ja knapp 10, das ist aber die Linie zwischen 1 und 100! Und bei w=10 ist H etwa 70, das muss also auch höher.

So eine Frequenzgangkurve ist schnell erklärt: bei jeder Frequenz steht da, wie "gut sie durchs System kommt", also transferiert wird - daher "Transferfunktion". Wenn Du Dir Deine Kurve anschaust, was siehst Du da?

Viele Grüße
Steffen

26.06.2013, 21:18

Thomas-070

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Prima, das Prinzip hast Du verstanden.

Das freut mich natürlich, so einen Lob zu hören - danke dafür.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Allerdings hapert's noch ein wenig beim Einzeichnen. Bei w=1 ist H ja knapp 10, das ist aber die Linie zwischen 1 und 100!

Upps, tatsächlich - ich bin auch blind, da ging ich von 50 als Skalar.

Zitat:

Original von Steffen BühlerUnd bei w=10 ist H etwa 70, das muss also auch höher.

Wenn meine Berechnung von meinem original Post stimmen sollte, dann bekomme folgendes:

------------------------------------------------
Für $\begin{eqnarray*} \omega=10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1 (j \omega)=50+5j \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} |H|=\sqrt{50^2 + 5^2}=50.2493781056045 \end{eqnarray*}$

Wo könnte denn mein Fehler sein?

Zitat:

Original von Steffen Bühler
So eine Frequenzgangkurve ist schnell erklärt: bei jeder Frequenz steht da, wie "gut sie durchs System kommt", also transferiert wird - daher "Transferfunktion". Wenn Du Dir Deine Kurve anschaust, was siehst Du da?

Wenn ich es richtig sehe, dann wird die Frequenz 100 fast 100% - also 99.5037190209989 - übertragen??
Aber was sagt mir das bzw. wie könnte man so ein System nennen?

Es könnte doch - das Tiefpass-System sein, denn bei der Frequenz 1000 nur 10% übertragen wird - also wieder 100 Hz?

Und in Wikipedia wird tiefe Frequenz so definiert:

Zitat:

Original von Wikipedia
Der Begriff Bass (auch Tiefton genannt) wird für Frequenzen von 0 bis 150 Hz benutzt.

Danke nochmals

Viele Grüße

26.06.2013, 22:25

Thomas-070

Auf diesen Beitrag antworten »

also, wenn ich es richtig verstanden habe, dann ist doch in der Mitte zwische 10 und 100 "55", da von 10 bis 100 90 sind und die Hälfte beträgt 45 und plus 10 vom Anfang macht 55. richtig?

Aber wie kommst du auf 70?

27.06.2013, 08:59

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Thomas-070
Wenn meine Berechnung von meinem original Post stimmen sollte, dann bekomme folgendes:

------------------------------------------------
Für $\begin{eqnarray*} \omega=10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1 (j \omega)=50+5j \end{eqnarray*}$

Nein, Du hast doch

$\begin{eqnarray*} H_1 (j \omega)=\frac {100j \omega T}{j \omega T + 10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac {100j \cdot 10}{j \cdot 10 + 10} \end{eqnarray*}$

Man könnte jetzt auch konjugiert komplex erweitern usw. Aber der Betrag des Zählers ist 1000, der des Nenners etwa 14. Dividiert gibt das etwa 70.

Gibt's da Schwierigkeiten?

Zitat:

Original von Thomas-070
Wenn ich es richtig sehe, dann wird die Frequenz 100 fast 100% - also 99.5037190209989 - übertragen?

Sie wird sogar 100fach verstärkt! Du hast hier keine Prozente, sondern Faktoren!

Zitat:

Original von Thomas-070
Es könnte doch - das Tiefpass-System sein, denn bei der Frequenz 1000 nur 10% übertragen wird - also wieder 100 Hz?

Nein, die Frequenz wird ja nicht verändert, aus 1000 Hz vorne werden nicht 100 Hz hinten. Aus einem Sinus mit 1 Volt Amplitude und w=1000/s wird hinten eben ein Sinus mit 100 Volt Amplitude, die Frequenz bleibt dieselbe. Schickst Du dagegen denselben Sinus mit w=1/s rein bekommst Du hinten nur noch 10 Volt.

Du hast hier also ein System, das hohe Frequenzen leichter passieren lässt als tiefe. Wie könnte man denn sowas nennen?

Zitat:

Original von Thomas-070
also, wenn ich es richtig verstanden habe, dann ist doch in der Mitte zwische 10 und 100 "55", da von 10 bis 100 90 sind und die Hälfte beträgt 45 und plus 10 vom Anfang macht 55. richtig?

Nein, leider nicht. Wir sind hier in der logarithmischen Welt, da ist die "Mitte" zwischen 10 und 100 etwa 30. Ingenieure wissen sowas auswendig.

Gerechnet wird's so:

$\begin{eqnarray*} 10 ^ {\frac12 \cdot (lg10 + lg100)} = 10 ^ {1,5} = 31,62... \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

27.06.2013, 09:43

Thomas-070

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Nein, Du hast doch

$\begin{eqnarray*} H_1 (j \omega)=\frac {100j \omega T}{j \omega T + 10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac {100j \cdot 10}{j \cdot 10 + 10} \end{eqnarray*}$

Man könnte jetzt auch konjugiert komplex erweitern usw. Aber der Betrag des Zählers ist 1000, der des Nenners etwa 14. Dividiert gibt das etwa 70.

Darauf wäre ich gar nicht gekommen, danke für die einfache Lösung.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Gibt's da Schwierigkeiten?

Na ja, ich bekomme über die zwei Ansätze unterschiedliche Ergebnisse s. Bild.
Dann muss mein Fehler in meiner ersten Berechnung "Division komplexer Zahlen" stecken, oder?

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Sie wird sogar 100fach verstärkt! Du hast hier keine Prozente, sondern Faktoren!

Ok, gut zu wissen. Ich sehe, dass ich bei dem Thema nicht bewandert bin, aber ich lerne es noch hoffentlich...

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Nein, die Frequenz wird ja nicht verändert, aus 1000 Hz vorne werden nicht 100 Hz hinten. Aus einem Sinus mit 1 Volt Amplitude und w=1000/s wird hinten eben ein Sinus mit 100 Volt Amplitude, die Frequenz bleibt dieselbe. Schickst Du dagegen denselben Sinus mit w=1/s rein bekommst Du hinten nur noch 10 Volt.

Wie du es gemerkt hast, ich habe den Faktor mit der Potenz verwechselt. Aber jetzt ist alles klar.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Du hast hier also ein System, das hohe Frequenzen leichter passieren lässt als tiefe. Wie könnte man denn sowas nennen?

Dann ist es ein Hochpass.

Aber wo lese ich es denn ab, welche Frequenzen leichter passieren und welche nicht?
Gibt es da eine harte Grenze dafür?

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Nein, leider nicht. Wir sind hier in der logarithmischen Welt, da ist die "Mitte" zwischen 10 und 100 etwa 30. Ingenieure wissen sowas auswendig.

Gerechnet wird's so:

$\begin{eqnarray*} 10 ^ {\frac12 \cdot (lg10 + lg100)} = 10 ^ {1,5} = 31,62... \end{eqnarray*}$

Oh je, ich sehe dass es schwierig wird. Du hast $\begin{eqnarray*} 10^{0,5 \cdot 3} \end{eqnarray*}$ genommen, weil du die Mitte ermitteln willst.
Wenn ich aber z. B. $\begin{eqnarray*} 10^{0,7 \cdot 3} \end{eqnarray*}$ nehme, um das Ergebnis für 70 zu bekommen, erhalte ich 125.892.

Danke dir für alles

Liebe Grüße
Thomas

27.06.2013, 10:09

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Thomas-070
Na ja, ich bekomme über die zwei Ansätze unterschiedliche Ergebnisse s. Bild.

Ich sehe leider kein Bild, Du kannst die Ansätze ja mal hinschreiben.

Zitat:

Original von Thomas-070
Dann ist es ein Hochpass.

Richtig.

Zitat:

Original von Thomas-070
Aber wo lese ich es denn ab, welche Frequenzen leichter passieren und welche nicht?
Gibt es da eine harte Grenze dafür?

Die gibt's tatsächlich, und Du siehst sie auch im Diagramm. Da läuft eine (fast) gerade Linie schräg hoch bis w=10. Dort macht sie einen Knick und läuft dann (fast) gerade horizontal weiter. Daher ist die "harte Grenze" die Frequenz w=10, sie wird wegen des Knicks (der natürlich nur bei doppeltlogarithmischem Diagramm zu sehen ist) auch Eckfrequenz genannt. Oder z.B. auch 3-dB-Frequenz, denn hier lässt das System 3 dB weniger durch (verglichen mit dem Wert bei unendlicher Frequenz, der ja hier 100 ist). Grenzfrequenz ist auch ein beliebter Ausdruck.

Um mal kurz die schnöde Mathematik zu verlassen: wenn diese Schaltung in einem Verstärker drin wäre, würde der alles unterhalb von etwa 1,6Hz nicht durchlassen (natürlich nicht schlagartig). Mit so einem ein 1,6-Hz-Hochpass schützt man z.B. Lautsprecher vor niederfrequenten Signalen, die ihn zerstören könnten.

EDIT: Hab gerade gemerkt, dass nicht w=100, sondern w=10 die Grenzfrequenz ist. Der Text ist jetzt korrigiert.Tut mir leid, falls ich Dich bereits verwirrt haben sollte.

Zitat:

Original von Thomas-070
Du hast $\begin{eqnarray*} 10^{0,5 \cdot 3} \end{eqnarray*}$ genommen, weil du die Mitte ermitteln willst.

Nein, ich habe die Mitte (also den Mittelwert) von lg10=1 und lg100=2 gebildet und 10 hoch das Ergebnis genommen.

Zitat:

Original von Thomas-070
Wenn ich aber z. B. $\begin{eqnarray*} 10^{0,7 \cdot 3} \end{eqnarray*}$ nehme, um das Ergebnis für 70 zu bekommen, erhalte ich 125.892.

Hier rechnest Du einfach erst mal lg70=1,845...

Daher trägst Du den Punkt auf etwa 84,5% der Strecke zwischen der 10 (die ja der 1 entspricht) und der 100 (die ja der 2 entspricht) ein. Das war's schon.

Viele Grüße
Steffen

27.06.2013, 10:54

thomas-07

Auf diesen Beitrag antworten »

hier ist das Bild

27.06.2013, 11:32

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von thomas-07
hier ist das Bild

Hm, das erklärt allerdings nicht, wie Du bei der Verwendung der konjugiert komplexen Erweiterung bei w=10 auf $\begin{eqnarray*} \sqrt {50^2+5^2} \end{eqnarray*}$ kommst. Fangen wir mal an (imaginäre Einheit lassen wir j sein):

$\begin{eqnarray*} \frac {1000j}{10+10j} = \frac {1000j \cdot (10-10j)}{10^2+10^2} = ... \end{eqnarray*}$

Jetzt Du.

Viele Grüße
Steffen

27.06.2013, 17:35

thomas-07

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Steffen,

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Hm, das erklärt allerdings nicht, wie Du bei der Verwendung der konjugiert komplexen Erweiterung bei w=10 auf $\begin{eqnarray*} \sqrt {50^2+5^2} \end{eqnarray*}$ kommst. Fangen wir mal an (imaginäre Einheit lassen wir j sein):

$\begin{eqnarray*} \frac {1000j}{10+10j} = \frac {1000j \cdot (10-10j)}{10^2+10^2} = ... \end{eqnarray*}$

Jetzt Du.

Ups, Rechenfehler von mir - tut mir leid.

Ich hatte bei der Multiplikation von $\begin{eqnarray*} 100j\cdot 10 \cdot 10 \end{eqnarray*}$ ganz zu Beginn eine Null übersehen und sie hat sich am Ende dann gerächt Hammer

Nun stimmt's, ich komme auch afu ca. 70

$\begin{eqnarray*} 1000 \cdot x \end{eqnarray*}$ DANK! Freude

Liebe Grüße
Thomas

Neue Frage »

Antworten »

Übertragungsfunktion/Transferfunktion ins Bode-Diagramm

Verwandte Themen