Folgengrenzwert

25.06.2013, 21:53	Fruchtiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgengrenzwert Wir wollte folgende Aufgabe eines freundes lösen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{log^s x}{x^t} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s,t>0 \end{eqnarray}$ Das ganze soll mit hilfe von substitution geschehen. Ich weiss wie man es lösen könnte, nur darf er l´Hospital und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} x^x \end{eqnarray}$ nicht verwenden. Eine andere möglichkeit fällt mir leider nicht ein. Ich kanns nur mit den oben genannten.
25.06.2013, 23:58	Screwhal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgengrenzwert Ohne l'Hospital scheint es mir ''unmöglich'', ich habe mal die Subst. $\begin{eqnarray} ln(x)=y \end{eqnarray}$ versucht. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } f(x) => \lim_{y \to \infty } g(y) \end{eqnarray}$ . Mit f(x) deine ursprüngliche Funktion und g(y):= $\begin{eqnarray} \frac{y^s}{e^{t\cdot y}} \end{eqnarray}$ . Exp() zerdrückt alles und es geht gegen Null ohne l'Hospital ist das aber schwer zu zeigen, ich habe mal was versucht: $\begin{eqnarray} \frac{y^s}{e^{t\cdot y}} = e^{ln{\frac{y^s}{e^{t\cdot y}}}} \end{eqnarray}$ Den GW in exp() reingezogen $\begin{eqnarray} ln\left({\frac{y^s}{e^{t\cdot y}}}\right) = ln\left( {y^s}\cdot {e^{-t\cdot y}}\right) = s\cdot ln\left( {y}\cdot {e^{-{ty/s}}}\right) \end{eqnarray}$
26.06.2013, 06:04	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist "unmöglich" nicht ziemlich übertrieben? Ich habe zwar ein etwas anderes Ergebnis nach Substitution, es läuft aber trotzdem aufs gleiche hinaus. Man kann mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion sehr schön zeigen, dass der Ausdruck y^s/(e^(ty)) (der bei mir anders aussieht) gegen 0 geht. Unmöglich finde ich das nicht.
26.06.2013, 09:48	Screwhal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok du hast recht mit der Reihenentwicklung geht es recht schnell und einfach ich dachte halt dass man das hier nicht verwenden darf
26.06.2013, 11:34	Screwhal	Auf diesen Beitrag antworten »
@Guppi12 Welche Substitution hast du denn angewendet?
26.06.2013, 12:08	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich die gleiche, habe aber ein etwas anderes Ergebnis. Mir ist aber jetzt gerade erst aufgefallen, dass das nur an verschiedenen Interpretationen von $\begin{eqnarray} \log^s \end{eqnarray}$ liegt. Ich hatte das als Logarithmus zur Basis s interpretiert, wobei deine Interpretation als Logarithmus hoch s eigentlich die korrekte ist. Weiß auch nicht, was ich mir dabei gedacht habe. Es läuft aber wie gesagt aufs selbe hinaus.
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26.06.2013, 14:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Substitution $\begin{eqnarray} y=x^{\frac{t}{s}} \end{eqnarray}$ folgt aus $\begin{eqnarray} x\to\infty \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} y\to\infty \end{eqnarray}$ , und umgekehrt, demnach ist $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} \frac{\ln^s(x)}{x^t} = \lim_{y\to\infty} \frac{\ln^s\left(y^{\frac{s}{t}}\right)}{y^s} = \lim_{y\to\infty} \frac{\left( \frac{s}{t}\ln(y) \right)^s}{y^s} = \left( \frac{s}{t} \lim_{y\to\infty} \frac{\ln(y)}{y} \right)^s \end{eqnarray}$ . Es genügt also letzten Endes, den Grundfall $\begin{eqnarray} s=t=1 \end{eqnarray}$ zu analysieren.

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