Funktion als Bruch Polynom/Polynom, Partialbruch

26.06.2013, 00:23

matthias87

Funktion als Bruch Polynom/Polynom, Partialbruch

Hallo Leute,

ich muss eine Ausarbeitung für Mathe machen und weiß nicht, wie ich anfangen soll.
Über Tipps würde ich mich sehr freuen.
Hier ist die Aufgabe:
Geben Sie eine rationale Funktion an, die eine Polstelle bei x = 2 hat und eine weitere Nullstelle bei x = 4 hat und eine Nullstelle bei x = 3 hat und für x -> +- unendlich die Asymptote x² hat. Geben Sie diese Funktion als Bruch

Polynom
-----------
Polynom

an und schreiben Sie diese Funktion außerdem mit Hilfe von Partialbrüchen.

26.06.2013, 00:30

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Gedanken hast Du Dir denn schon gemacht und an welcher Hochschule hast Du diese Aufgabe gestellt bekommen?

30.06.2013, 20:43

matthias87

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe diese Aufgabe an der Hochschule Aachen gestellt bekommen.

Ich habe mich mit dieser Aufgabe etwas beschäftigt und habe bis jetzt folgendes raus:

Gesucht ist eine rationale Funktion mit folgenden Eigenschaften:
- an x=3 einfache Nullstelle
- an x=4 einfache Nullstelle
- an x=2 einfache Polstelle
- Asymptote x² für x -> +- unendlich

Eine allgemeine rationale Funktion sieht so aus: $\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{q(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{q(x)} = Ergebnis\ der\ Polynomdivision(x) + \frac{Rest(x)}{q(x)} \end{eqnarray*}$

Ergebnis der Polynomdivision(x) --> das ist die Asymptote für $\begin{eqnarray*} x \rightarrow \pm \infty \end{eqnarray*}$
in unserem Fall ist "Ergebnis der Polynomdivision" x²
Die Asymptote wäre z.B. bei 12/5 = 2 + 2/5 die 2 und 2/5 wäre Rest(x)/q(x)

Weil als Polstelle x=2 steht, habe ich bei Rest(x)/q(x) ---> Rest(x)/x-2 stehen.

Dann habe ich rausgefunden, dass Rest(x)/x-2 gegen 0 gehen soll.
Also:
$\begin{eqnarray*} 0=x^2\ + \ \frac{const.}{x-2} \end{eqnarray*}$
Wenn wir für x eine 3 einsetzen, haben wir folgendes:
$\begin{eqnarray*} 0= 3^2\ + \ \frac{const.}{3-2} = 9\ + \ \frac{const.}{1} \end{eqnarray*}$

Also müsste die konstante Zahl eine -9 sein, damit es 0 wird.

Nun habe ich das hier:
$\begin{eqnarray*} x^2\ + \ \frac{-9}{x-2} \end{eqnarray*}$

Wenn wir dann eine rationale Funktion haben wollen, müssen wir das ja umformen. Das habe ich auch gemacht:
$\begin{eqnarray*} =\frac{x^3-2x^2+2x-4+(-9)}{x-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{x^3-2x^2+2x-13}{x-2} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich nicht weiter. Wir brauchen ja um die Nullstelle zu finden z.B. sowas bzw. diese Form:
$\begin{eqnarray*} =\frac{(x-2)(x-5)(x+3)}{x-4} \end{eqnarray*}$ (jetzt nur als Beispiel gedacht)

Wie mache ich weiter?

Ich hoffe es gibt jemanden, der mich versteht und mir weiterhilft Gott

30.06.2013, 21:23

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion als Bruch Polynom/Polynom, Partialbruch

Zitat:

Original von matthias87

Geben Sie eine rationale Funktion an,

die eine Polstelle bei x = 2 hat und eine weitere Nullstelle bei x = 4 hat verwirrt

und eine Nullstelle bei x = 3 hat

und für x -> +- unendlich die Asymptote x² hat.

an und schreiben Sie diese Funktion außerdem mit Hilfe von Partialbrüchen.

->

könnte es sein, dass der Aufgabentext so auissieht ->
...
die eine Polstelle bei x = 2 hat und eine weitere Polstelle bei x = 4 hat
und eine Nullstelle bei x = 3 hat
..

denn bei deinem Text wirst du wohl keine Lösung finden können.. traurig

30.06.2013, 21:32

matthias87

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe diese Aufgabe so von meinem Professor bekommen. Kann er sich vertan haben?
Warum kann man denn die Aufgabe nicht lösen?

30.06.2013, 22:02

original

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von matthias87

Warum kann man denn die Aufgabe nicht lösen?

wenn die Funktion nur genau die Asymptote y=x^2 und nur die eine Polstelle x=2 hat,
dann muss der Ansatz so sein :

$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{x^3-2x^2+c}{x-2} \end{eqnarray*}$

(mit c= - 9 hast du dann die Nullstelle 3
oder für c= - 32 die Nullstelle 4)

der für zwei Nullstellen erforderliche Ansatz

$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{x^3-2x^2+ax+b}{x-2} \end{eqnarray*}$

mit a ungleich 0

würde schon nicht mehr zur Asymptote y=x^2 führen
wäre aber für zwei Nullstellen erforderlich

kurz:
der Aufgabentext legt nahe:
.. die eine Polstelle bei x = 2 hat und eine weitere Polstelle bei x = 4 ..

und die Mehrzahl beim letzten Satz:

" .. und schreiben Sie diese Funktion außerdem mit Hilfe von Partialbrüchen."

könnte die Vermutung, dass du den Text nicht richtig audgenommen hast, bestärken .. oder?

Vorschlag:
probiers doch mal mit der Variante 2 Polstellen, eine Nullstelle

30.06.2013, 22:27

matthias87

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, Du hast Recht.
Die Aufgabe hat mein Prof. falsch geschrieben.

Polstelle an x=2
Polstelle an x=4
Nullstelle an x=3
Asymptote x² für x --> +- unendlich

Habe folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} 0=x^2 + \frac{const.}{(x-2)(x-4)} \end{eqnarray*}$

3 für x einsetzen, dann kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} 0=9 + \frac{const.}{(1)(-1)}=9+\frac{9}{-1} \end{eqnarray*}$

Also lautet die Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+\frac{9}{(x-2)(x-4)} \end{eqnarray*}$

Nun das ganze unter einen Bruch:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^4-6x^3+8x^2}{(x-2)(x-4)} \end{eqnarray*}$

Ist bis hier hin alles korrekt?
Wenn ja, wie mache ich das jetzt, damit ich so eine Form habe:

$\begin{eqnarray*} =\frac{(x-2)(x-5)(x+3)}{(x-4)(x-6)} \end{eqnarray*}$

30.06.2013, 22:52

matthias87

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hier war nur als Beispiel gedacht! Das soll NICHT rauskommen.
$\begin{eqnarray*} =\frac{(x-2)(x-5)(x+3)}{(x-4)(x-6)} \end{eqnarray*}$

Wie mache ich weiter?

01.07.2013, 00:06

matthias87

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe als Lösung das hier:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2(x-2)(x-4)}{(x-2)(x-4)} \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich das kürze habe ich: x²

Aber wir wollten doch eine rationale Funktion finden. Was mache ich falsch?

01.07.2013, 00:34

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur kurz, da ich gleich ins Bett muss: Wie kommst Du bitte auf diesen Schritt?

Zitat:

Original von matthias87

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+\frac{9}{(x-2)(x-4)} \end{eqnarray*}$

Nun das ganze unter einen Bruch:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^4-6x^3+8x^2}{(x-2)(x-4)} \end{eqnarray*}$

Der Zähler lautet $\begin{eqnarray*} x^2(x-2)(x-4)+9 \end{eqnarray*}$ und das ergibt ausmultipliziert ganz sicher nicht 0 als konstanten Summanden.

01.07.2013, 00:59

matthias87

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso stimmt. Habe die 9 vergessen.

Jetzt:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2(x-2)(x-4)+9}{(x-2)(x-4)} \end{eqnarray*}$

Ausmultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^4-6x^3+8x^2+9}{(x-2)(x-4)} \end{eqnarray*}$

Wie geht es jetzt weiter?

01.07.2013, 01:22

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst Du denn noch machen? Das ist deine gesuchte Funktion!
Wenn Du den Zähler noch unbedingt faktorisieren willst, dann nutze die bekannte Nullstelle und wende Polynomdivision an. Dabei wirst Du einen kubischen Term erhalten, der genau eine weitere Nullstelle besitzt, die zu berechnen ich Dir aber nicht empfehlen würde Augenzwinkern

Bin jetzt aber endgültig weg. Schläfer

01.07.2013, 08:54

matthias87

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich den Zähler faktorisiere, habe ich das hier raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{(x-3)(x^3-3x^2-x-3)}{(x-2)(x-4)} \end{eqnarray*}$

Passt das so?

01.07.2013, 10:22

original

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von matthias87

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+\frac{9}{(x-2)(x-4)} = \frac{x^2(x-2)(x-4)+9}{(x-2)(x-4)} \end{eqnarray*}$

Ausmultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{x^4-6x^3+8x^2+9}{(x-2)(x-4)} \end{eqnarray*}$ Freude

Wie geht es jetzt weiter?

wie es jetzt noch weitergehen sollte steht doch im Aufgabentext:

" .. und schreiben Sie diese Funktion außerdem mit Hilfe von Partialbrüchen."

also -> ...
.

Neue Frage »

Antworten »

Funktion als Bruch Polynom/Polynom, Partialbruch

Verwandte Themen