Bilden diese Vektoren eine Basis von R5?

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thaddäus Auf diesen Beitrag antworten »
Bilden diese Vektoren eine Basis von R5?
Meine Frage:
Hey,

Rechne momentan zur Klausurvorbereitung ein paar alte Klausuren durch. Immer wieder sind Vektoren gegeben und man soll eben auf lineare Unabhängigkeit prüfen (ist kein Problem) und sagen ob es sich dabei um eine Basis von irgendeinem Raum handelt.

Hier eine Bsp Aufgabe:

Sind diese Vektoren unabhängig? Bilden diese Vektoren eine Bassis von R5? ..

B = b 1,2,3 =





Meine Ideen:
Habe das ganze in ein LGS geschrieben und umgeformt :
(letzte Spalte soll der Lösungsvektor sein..)



Hierraus folgt ja a = b = c = 0, also unabhängig. Wie geht nun die Begründung zur Basis weiter? Ich würde ja einfach nur sagen, dass man für die Basis vom R5 mindestens 5 unabhängige Vektoren braucht und 3 sowieso nicht ausreichen, scheint dem Prof aber nicht ausreichend zu sein.

Hat jmd ne Idee was hier noch fehlt?

Grüße
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilden diese Vektoren eine Basis von R5?
Zeige, dass die Vektoren kein Erzeugendensystem bilden, hier reicht es, einen Vektor aus dem zu finden, der nicht als Linearkombination der drei Vektoren darstellbar ist.
thaddäus Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, ergibt Sinn!

Wie würde ich denn andersrum begründen dass es eine Basis wäre? Also wie zeige ich, dass ich damit alle Vektoren des R5 erzeugen kann?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du zeigst, dass alle Vektoren des darstellbar sind als eine Linearkombination der Vektoren.
thaddäus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, soweit war ich auch, nur wie mach ich das? Big Laugh
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

im Umkehrschluss zeigst du dass es einen Vektor gibt, der keine Linearkombination ist.

Prinzipiell hast du das mit dem Nullvektor am Anfang schon gezeigt, nur zählt der eben nicht.

Die Nullspalte durch (a,b,c,d,e)^T ersetzen.

Nun nochmals ein wenig Gauss, und unschwer lässt sich ein Widerspruch durch passende Wahl der Parameter erzielen.
 
 
thaddäus Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab das jetzt einfach mal mit dem Lösungsvektor (x1,x2,x3,x4,x5)^T gelöst. Natürlich hab ich wieder die beiden Nullzeilen, was zur Folge hat, dass a,b und c nur von x1,x2, x3 abhängen womit die Lösung ja ohne x4 und x5 beschrieben wird.

Reicht das als Begründung?

Wenn ich jetzt eine Aufgabe habe, in der z.B 3 Vektoren eine Basis des R3 bilden und ich dies auch zeigen muss. Dann mache ich das selbe Prozedere und habe am Ende a,b,c raus, wobei eben x1,x2 und x3 dafür verwendet werden.

Das soweit richtig oder komplett falsch?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dem nicht genau folgen, am besten wäre es gewesen, du schreibst einmal deine Rechnunge auf...

Also:

Wir bilden das LGS:






Das bringt uns die Zeilenstufenform der erweiterten Matrix (wenn ich mich nicht verrechnet habe..)



Wenn man sich die Lösungen anschaut sieht man, dass nicht der ganze IR^5 aufgespannt wird.

Edit: Achso:

betrachten wir zum Beispiel die 3 Vektoren im IR³

kann man das analog angehen, wir bilden das LGS



Dann sehen wir die Zeielnstufenform



und können damit zeigen, dass duie drei Vektoren ein Erzeugendensystem des IR³ bilden....
thaddäus Auf diesen Beitrag antworten »

genau das meine ich Augenzwinkern ich habe das dann noch etwas weiter ausgerechnet und habe dann eben meine 3 Lösungen in Abhängigkeit von x1,x2 und x3 raus. Wollte wissen, ob es als Begründung dann ausreicht, dass die Lösungen nicht von x4 und x5 abhängen und somit kein R5 aufgespannt werden kann.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dir auch die beiden letzten Zeilen anschauen (die beiden Nullzeilen der Koeffizientenmatrix), wählst drei Parameter und siehst dann, dass nur ein dreidimensionaler Unterraum aufgespannt wird.....
thaddäus Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

Danke, ist nun alles klar!

Liebe Grüße
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