Normalenvektor bestimmen

26.06.2013, 20:57

Gast26

Normalenvektor bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Fläche gegeben: $\begin{eqnarray*} E^+ = \{x \in \mathbb{R}^3: ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2 = 1 \; \; und \; \; x_3 > 0\} (a,b,c >0) \end{eqnarray*}$
und soll nun zu jedem Punkt den Normalenvektor berechnen und diesen als Funktion angeben.

Meine Ideen:
Jetzt habe ich aber keine Idee, wie ich anfangen soll, könnte mir da jemand einen Tipp geben, was man bei dieser Aufgabe machen muss.
Vielen Dank schon mal!

26.06.2013, 21:27

Dopap

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RE: Normalenvektor bestimmen
ich würde $\begin{eqnarray*} g(x)=ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2 - 1 \end{eqnarray*}$

ansetzten. Der Gradient dieser Funktion ist der Normalenvektor im Punkt x

26.06.2013, 22:08

Gast26

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RE: Normalenvektor bestimmen
Ok, ich verstehe jetzt nur nicht, warum der Gradient der Normalenvektor ist?

26.06.2013, 22:47

Dopap

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Beispielhaft im R²:

$\begin{eqnarray*} ax+by=c \Rightarrow y= -\frac ab x - ... \end{eqnarray*}$

die Steigung ist $\begin{eqnarray*} -\frac ab \end{eqnarray*}$ , die Normalensteigung $\begin{eqnarray*} \frac ba \end{eqnarray*}$

Test:

$\begin{eqnarray*} g(x,y)= ax+by-c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla g(x,y) = \binom {a}{b} \end{eqnarray*}$

und jetzt noch einen Kreis oder Parabel...

28.06.2013, 14:52

der_haarige

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aber ist der gradient nicht die tangentialsteigung??

Edit:
In meiner Aufgabenstellung ist noch zusätzlich, dass n(x) als Funktion von $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ dargestellt werden soll. Wie soll ich das machen?

28.06.2013, 15:44

der_haarige

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sooo, also ich hab mir jetzt folgendes überlegt:
ich stelle um nach:
$\begin{eqnarray*} x_3=\sqrt{\frac{1}{c}-\frac{a}{c}*{x_1}^2-\frac{b}{c}*{x_2}^2} \end{eqnarray*}$

sei nun $\begin{eqnarray*} g(x)=x_3 \end{eqnarray*}$
das wiederrum leite ich dann ab und mach den gradient:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\begin{pmatrix} g'(x_1) \\ g'(x_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und daraus mach ich dann:
$\begin{eqnarray*} n(x)=\begin{pmatrix} -g'(x_2) \\ g'(x_1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig??

28.06.2013, 18:51

Dopap

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Zitat:

Original von der_haarige
$\begin{eqnarray*} x_3=\sqrt{\frac{1}{c}-\frac{a}{c}*{x_1}^2-\frac{b}{c}*{x_2}^2} \end{eqnarray*}$

kann man machen. Ist anscheinend auch so gefordert.

Zitat:

sei nun $\begin{eqnarray*} g(x)=x_3 \end{eqnarray*}$
das wiederrum leite ich dann ab und mach den gradient:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\begin{pmatrix} g'(x_1) \\ g'(x_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da stimmt die Schreibfigur nicht:

$\begin{eqnarray*} \nabla g(x_1,x_2)= \begin{pmatrix} \frac {\partial}{\partial x_1} g(x_1,x_2) \\ \frac {\partial}{\partial x_2} g(x_1,x_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

und daraus mach ich dann:
$\begin{eqnarray*} n(x)=\begin{pmatrix} -g'(x_2) \\ g'(x_1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das geht nicht. Der Gradient gibt in der x_1-x_2 Ebene die Richtung des stärksten Anstiegs an. Was hat das mit dem räumlichen Normalenvektor zu tun?

Das Einzige was dein Vektor " $\begin{eqnarray*} n(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ " leistet, ist, dass er die Richtung ohne Anstieg angibt, also ein Tangentialvektor zu einer Höhenlinie ist.

Richtigerweise gilt: $\begin{eqnarray*} \vec n(x_1,x_2)= \begin {pmatrix} -\frac {\partial}{\partial x_1} g(x_1,x_2) \\ -\frac {\partial}{\partial x_2} g(x_1,x_2) \\ 1 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

als nach oben weisender senkrechter Vektor der Tangentialebene im Punkt $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,g(x_1,x_2)) \end{eqnarray*}$

29.06.2013, 01:01

der_haarige

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sorry, habs noch nich so drauf mit latex^^

also mit dem Richtungsvektor n von dir hab ich dann quasi den in der aufgabe gesuchten, versteh ich das richtig?? :-)

Vielen dank für deinen hilfe :-)

29.06.2013, 01:10

Dopap

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im Sinne der Vorgabe als Normalenvektor zur expliziten Fläche, ja !

Aber die partiellen Ableitungen sind halt etwas sperrig.

29.06.2013, 22:19

Gast26

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warum sind denn die partiellen Ableitungen sperrig?

29.06.2013, 23:55

Dopap

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na ja, es gilt eben Wurzelfunktionen abzuleiten Augenzwinkern