Laurent-Reihe berechnen

26.06.2013, 22:11	Triptrap	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurent-Reihe berechnen Ich soll $\begin{eqnarray} f(z)=\cos\frac{1-z}{z} \end{eqnarray}$ in eine Laurent-Reihe um $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ entwickeln. Ich habe hierfür zunächst $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ in eine Taylorreihe um $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ entwickelt, damit erhält man für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(z)=\cos(\frac{1}{z}-1)=\sum\limits_{k=-\infty}^{0}\frac{\cos^{(-k)}(-1)}{(-k)!}z^k \end{eqnarray}$ . Ist das erstens richtig und zweitens ausreichend "explizit"? Oder kann man das eleganter schreiben?
26.06.2013, 22:19	Emsland	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wieso nutzt du nicht die Reihendarstellung $\begin{eqnarray} \cos z = \sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray}$ ?
26.06.2013, 22:26	Triptrap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \cos(\frac{1-z}{z})=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}(\frac{1-z}{z})^k \end{eqnarray}$ Weil ich nicht weiß, wie ich hier weitermachen soll... meine einzige Idee wäre der Binomische Lehrsatz, aber ich weiß nicht, wie ich das, was daraus ensteht, in eine "ordentliche" Laurent-Reihe umschreiben kann.
26.06.2013, 22:49	Emsland	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib' mal die allgemeine Form einer Laurentreihe um Entwicklungspunkt 0 hin, dann siehst du, dass du schon fast fertig bist.
26.06.2013, 23:03	Triptrap	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein hat eine Laurentreihe um $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ die Form $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=-\infty}^\infty a_kz^k \end{eqnarray}$ , aber ich sehe den Zusammenhang zu dem, was ich da vorliegen hab, noch nicht
26.06.2013, 23:48	Emsland	Auf diesen Beitrag antworten »
Nutz vorher Additionstheorem des Cosinus und dann schreib es wieder in Reihendarstellung. dann hast du schon die Laurentreihe
Anzeige

27.06.2013, 00:16	Triptrap	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre dann $\begin{eqnarray} \cos(1)\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}z^{-2k}+\sin(1)\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{-2k-1} \end{eqnarray}$ ?
27.06.2013, 00:18	Emsland	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, jetzt noch die Summationsindexe anpassen, und des wars.
27.06.2013, 00:20	Triptrap	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar - dankeschön.
27.06.2013, 00:23	Emsland	Auf diesen Beitrag antworten »
Übrigens möchte ich noch eine kleine Anmerkung zu meiner allerersten Antwort machen. Die Reihendarstellung ist natürlich die Taylorentwicklung des Cosinus. Edit: Und dass die gefundene Reihe wirklich die Laurentreihe ist, folgt aus der Eindeutigkeit der Laurentreihe, was auch nicht unterschlagen werden sollte.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »