irreduzible Darstellungen, Satz von Mackey

Neue Frage »

Nougat Auf diesen Beitrag antworten »
irreduzible Darstellungen, Satz von Mackey
Sei eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung , eine abelsche, normale Untergruppe von der Ordnung .

Ich will jetzt die irreduziblen Darstellungen von finden. Ich weiß, dass es davon viele gibt, denn das ist genau die Zahl der Konjugationsklassen von G.

viele dieser Darstellungen sind eindimensional und die bekommt man durch die p-ten Einheitswurzeln (folgt aus ist elementarabelsch und hat Ordnung ).

Es fehlen also noch p-1 viele Darstellungen von Dimension p oder (laut einem Satz aus Algebra 2 von Meyberg weiß ich, dass es die Dimension p sein muss, denn wenn A eine abelsche normale UG von G ist der Ordnung a, so sind alle irrer. Darstellungen von der Dimension , da H eine solche Gruppe ist, folgt daraus, dass die restl. Darstellungen Grad p haben müssen)

Diese p-1 vielen Darstellungen will ich nun über induzierte Darstellungen von H herauskriegen.

Dazu benutze ich das Irreduzibilitätskriterium von Mackey: (in unserem Fall mit )

Sei , V ein -Vektorraum, eine Darstellung von G. Dann gilt:
ist irreduzibel gdw irreduzibel ist und wenn und disjunkt sind für alle
Hierbei bezeichnet

Das kann man "recht einfach" zeigen, mit "Mackeys Decomposition Theorem" und der Frobenius Reziprozität.


Mein Problem dabei ist jetzt die Aussage, dass und nicht äquivalent sein dürfen...

Sei eine irreduzible Darstellung von H mit Charakter . Dann ist (da H abelsch) .
Um zu zeigen, dass irreduzibel ist, brauchen wir also, dass
für alle

Nun gilt:





Aber das kann doch nicht sein, sonst wäre der Satz ja total unnötig...
Seht ihr vielleicht meinen Denkfehler??

Zweiten Beitrag hier reinkopiert und gelöscht. Steffen

Ok ... ich glaube, ich habe einen Denkfehler gefunden ...

Da ein Charakter von , also einer Darstellung von H ist, ist eine Klassenfunktion von H, das heißt

Allerdings muss diese Gleichheit nicht mehr gelten, wenn , was wir ja in dem Satz gegeben haben ...

Aber wie gehts jetzt weiter? ...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Nougat,

Da die Darstellungen hier eindimensional sind, ist nicht nur eine Klassenfunktion, sondern sogar multiplikativ. Damit sieht man zunächst, dass ist - es sind also nur Darstellungen interessant, die auf nicht trivial sind.
Insbesondere ist in diesem Fall genau dann , wenn ist. (Für ist )

Guck Dir vielleicht zuerst mal den Fall an, dass zyklisch ist. Dann gibt es einen Erzeuger und es ist mit .
(Es gilt sogar , aber das ist hier nicht so wichtig.)

Gruß
Reksilat
Nougat Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Reksilat,

Vielen Dank für deine Antwort.
Das hat mir auf jeden Fall weitergeholfen, allerdings glaube ich, dass ich das, worauf du hinaus willst, noch nicht ganz sehe...

Es ist dann ja




liegt nun ja im Kommutator also gerade in . Deshalb kann höchstens verschiedene Werte annehmen (da ). Nun nimmt gerade mal die an (da und ). Damit ergibt sich also:



Es gilt
Da wir nun zyklisch betrachten, gibt es gerade viele Elemente der Ordnung , diese liegen alle in . Da wir nun nur noch über laufen lassen, durchläuft nur noch die Elemente der Ordnung . Also alle Potenzen von (falls ), deren Exponent teilerfremd zu ist (ich weiß nicht, ob das relevant ist, es ist mir nur eben aufgefallen) .

Damit kommt man nun zu: mit , dies entspricht gerade den p-ten Einheitswurzeln (da also ) Davon gibt es nun viele, die mal durchlaufen werden.
Wenn man nun über alle p-ten Einheitswurzeln summiert, kommt gerade 0 heraus. Da wir hier die 1 ausschließen, und nur über die Einheitswurzeln bis summieren, haben wir also -1 ... da wir das gerade p mal machen, ist:



und somit:

Stimmt das so? Und sind die Begründungen für den letzten Abschnitt sauber?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Nougat,

Die Begründung ist richtig. Freude
Vielleicht würde ich bei diesem Satz noch mal nachhaken:
Zitat:
Davon gibt es nun p-1 viele, die p mal durchlaufen werden.


Ich habe es noch eine Spur einfacher gedacht:

(wobei ein Erzeuger von ist)

Es fehlt nun noch der elementar abelsche Fall.

Gruß
Reksilat
Nougat Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Reksilat,

Ich sehe jetzt, was du meinst (manchmal denke ich einfach zu kompliziertsmile

Im elementarabelschen Fall habe ich ja mit (da ).
Also kann ich jedes schreiben als:
Somit:






Nun kann man mit schreiben.

Damit kriegt man wie vorher wieder:

?

Liebe Grüße
Nougat
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus. Freude

Gruß
Reksilat
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »