Extremwertaufgabe

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27.06.2013, 11:14	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Hallo, ich sitze schon ziemlich lange an der folgenden Aufgabe: Wie müssen sich bei einem Balken mit rechteckigem Querschnitt Höhe h zur Breite b verhalten, damit er möglichst hoch auf Biegung beansprucht werden kann? Der Balken soll aus einem kreisrunden Baumstamm mit dem Durchmesser d geschnitten werden. Hinweis: Die Biegefestigkeit eines Trägers ist von der Größe des Wiederstandsmomentes abhängig. Im vorliegenden Fall muss daher das Wiederstandsmoment W= 1/6 BreiteHöhe^2 maximal werden. Zu der Aufgabenstellung gehört noch das Bild im Anhang. Mein Ansatz: Ich habe in dem Bild mit Bleistift vom Mittelpunkt aus bis zur kante des Balkens einen Strich gezogen (=Radius) und wollte den mit Pythagoras berechnen $\begin{eqnarray} r=sqrt(((h/2)^2)+(b/2)^2) \end{eqnarray}$ Aber wie mache ich nun weiter ? Ich habe keine Zahlen. Weiß jemand weiter ? oder hat eine Idee ? Grüße moni
27.06.2013, 11:21	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
ist es denn schwierig h^2 durch r^2 und b^2 auszudrücken?
27.06.2013, 11:32	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich habs mal so umgestellt wie du vorgeschlagen hattest: $\begin{eqnarray} 2sqrt((r^2)-(b/2)^2)=h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W=1/6Breite(2sqrt((r^2)-(b/2)^2))^2 \end{eqnarray}$ Dann hätte ich jedoch immernoch 2 Unbekannte in meiner Gleichung. Aber ich könnte doch jetzt nicht einfach meine Pythagoras-Gleichung nehmen und auch nach b umstellen und alles in W einsetzen oder ? Ich benötige doch eine weitere Gleichung um alles aufzulösen.
27.06.2013, 11:35	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
Breite ist doch b
27.06.2013, 11:41	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann sieht meine Gleichung jetzt so aus: $\begin{eqnarray} W=1/6((2sqrt((r^2)-(h/2)^2))^2)(2sqrt((r^2)-(b/2)^2))^2 \end{eqnarray}$ Aber damit bin ich doch noch nicht fertig oder ?
27.06.2013, 11:45	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
warum nun wieder ein h; und was ergibt $\begin{eqnarray} \left( \sqrt{etwas} \right)^2 \end{eqnarray}$ ?
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27.06.2013, 11:49	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, so sollte es wohl dann aussehen: $\begin{eqnarray} W=1/6b4((r^2)-(b/2)^2) \end{eqnarray}$ Bräuchte ich nicht noch eine Gleichung um das r herauszubekommen/ ersetzen ?
27.06.2013, 11:52	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, so soll es aussehen, und das r braucht nicht ersetzt zu werden
27.06.2013, 11:56	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit ist die aufgabe gelöst ? Hätte jetzt mit einer komplexeren rechnung gerechnet... Vielen Dank für Ihre Hilfe !
27.06.2013, 11:57	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Extremwertermittlung auch?
27.06.2013, 12:03	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke schon. Wenn das, dass ist mit dem ableiten dann ja
27.06.2013, 12:04	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
ok
27.06.2013, 12:07	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
W ableiten ?
27.06.2013, 12:38	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Da alterHund off ist: Ja, W(b) nach b ableiten. Dazu würde ich zunächst die Klammer auflösen.
27.06.2013, 12:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstverständlich ableiten, das ist ja der Schlüssel zur weiteren Extremwertberechnung! @moni98 Wir duzen uns im Forum und haben damit (auch altersmäßig ) keine Probleme! mY+ Uuups, sulo war schneller
27.06.2013, 12:52	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar also $\begin{eqnarray} W'(b)= 2/3r^2-2b \end{eqnarray*}$ so sieht meine Ableitung aus
27.06.2013, 13:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die -2b hinten sind merkwürdig ...
27.06.2013, 13:04	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfe noch mal den Subtrahenden. edit: Diesmal war mYthos schneller...
27.06.2013, 13:29	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
okay hier mal meine Schritte: $\begin{eqnarray} W= 1/6b4r^2-4(b/2)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W'(b)= 1/64r^2-8(b/2)1/2 \end{eqnarray}$ [erst produktregel, hinten kettenregel] $\begin{eqnarray} =2/3r^2-4(b/2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2/3r^2-2b \end{eqnarray}$
27.06.2013, 13:43	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
das Sechstel betrifft das ganze W
27.06.2013, 13:48	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
@alterHund Das b auch. @Moni Produkt- oder Kettenregel haben hier nichts zu suchen. Mal ausführlich: $\begin{eqnarray} W=1/6b4((r^2)-(b/2)^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W= 1/6b4r^2-1/6b4(b/2)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W= 4/6br^2 - 1/64b(b^2/2^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W= 2/3br^2 - 1/64(b^3/2^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W= 2/3br^2 - 1/6b^3 \end{eqnarray*}$ Und jetzt ableiten.
27.06.2013, 14:09	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher, dass hinten die -2b falsch sind ? Also ich bin meine Rechnung nochmal durchgegangen und eigentlich müsste das soweit stimmen. http://www.ableitungsrechner.net/#expr=1...%28x%2F2%29%5E2 sagt genau das gleiche Ich habs gerade auch mal anders probiert und sofort die 1/6 mit der 4 multipliziert und es kommt was ganz anderes raus (foto) ok jetzt habe ich meinen fehler auch gesehen. meine rechnung im foto scheint zu stimmen. habe auch gerade den fehler im exponenten gesehen b^3 .
27.06.2013, 14:17	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorcheichenfehler bei Anwendung der Produktregel; es ist einfacher wenn Du von $\begin{eqnarray} W = \frac{1}{6}\cdot b \cdot (4r^2 - b^2) \end{eqnarray}$ ausgehst
27.06.2013, 14:19	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Wenn du in den Ableitungsrechner die falsche Funktionsgleichung eingibst, wird kaum etwas Richtiges rauskommen. So muss die Gleichung lauten, wenn sie denn so umständlich sein soll: http://www.ableitungsrechner.net/#expr=1...x%2F2%29%5E2%29 2. Mir ist nacht wie vor unklar, warum du ein Produkt nicht erst optimal zusammenfasst bevor du es ableitest. $\begin{eqnarray} 2/3b(b/2)^2 \end{eqnarray}$ ist mathematisch zwar richtig, aber haarsträubend unfertig. 3. Du musst einen Vorzeichenfehler in der Ableitung dieses aufgeblähten Terms haben. Das Ergebnis der Ableitung kann keine Summe sein.
27.06.2013, 14:20	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
so jetzt hab ichs die Ableitung lautet: $\begin{eqnarray} W'(b)= 2/3r^2-1/2b^2 \end{eqnarray}$
27.06.2013, 14:26	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
ja
27.06.2013, 14:38	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
ok damit bin ich aber doch noch nicht fertig oder ?
27.06.2013, 14:41	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, mußt noch W' = 0 lösen; negative b gelten natürlich nicht
27.06.2013, 14:53	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs =0 gesetzt und dann b1,2 herausgefunden
27.06.2013, 14:57	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, natürlich nur die positive Lösung, und die Wurzel kann noch vereinfacht werden
27.06.2013, 15:00	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} b=2/sqrt3 r \end{eqnarray*}$
27.06.2013, 15:05	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, bzw auch $\begin{eqnarray} 2r \frac{\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray}$
27.06.2013, 15:10	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
und das dann in W einsetzen oder ?
27.06.2013, 15:11	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, wenn es gefordert war
27.06.2013, 15:27	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, vielen Danke für die Hilfe
27.06.2013, 16:07	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich war nach dem Verhältnis von h zu b gefragt. Das sollte also noch dargestellt werden. Noch eine grundsätzliche Anmerkung: Die Rechnung wäre einfacher gewesen, wenn statt mit dem Radius mit dem Durchmesser gerechnet worden wäre.
27.06.2013, 18:57	moni89	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe und den Tipp! Also statt r (Radius) den Durchmesser d/2 verwenden ?
27.06.2013, 19:05	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
den ganzen Durchmesser, er ist die Diagonale des Rechtecks und es gilt d^2 = h^2 + b^2

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