Kriterien für Lebesgue-Integrierbarkeit

27.06.2013, 13:42

MaxderMathematiker

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Kriterien für Lebesgue-Integrierbarkeit

Meine Frage:
Hallo, mir stellt sich folgende Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} f(x,y,z):=yze^{-z^{2} } \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} A:=[-1,1]\times [-1,1]\times \mathbb R \end{eqnarray*}$

Prüfe ob f über A (lesbegue) integrierbar ist, und berechne ggf. das Integral.

Meine Ideen:
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, weil ich nicht mal weiß, was ein Lesbegue Integral ist. und ja, die Definition bei Wiki habe ich mir angeschaut, die hilft mir aber auch nicht weiter.Mir kommt es bei der Aufgabe allerdings komisch vor, dass man über den kompletten R definieren soll. Wie soll das denn gehen?

27.06.2013, 13:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von MaxderMathematiker
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, weil ich nicht mal weiß, was ein Lesbegue Integral ist.

Dann ist es ein wenig merkwürdig, dass du eine derartige Aufgabe bearbeitest: Schließlich ist "Lebesgue-Integral" DER Grundbegriff der zugehörigen Integrationstheorie. verwirrt

verwirrt

Hier genügen folgende Eigenschaften, um "losrechnen" zu können:

Hinreichend für die Lebesgue-Integrierbarkeit einer nichtnegativen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, dass sie über demselben Gebiet (uneigentlich) Riemann-integrierbar ist.

Für beliebige Funktionen folgt aus der Lebesgue-Integrierbarkeit sowohl von Positivteil $\begin{eqnarray*} f_+:=\max(f,0) \end{eqnarray*}$ und Negativteil $\begin{eqnarray*} f_-:=\max(-f,0) \end{eqnarray*}$ per Definition die Lebesgue-Integrierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , mit Integralwert

$\begin{eqnarray*} \int f(x) ~ \dd x := \int f_+(x) ~ \dd x ~-~ \int f_-(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

hier natürlich mit $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Das mit dem "nichtnegativ" ist nicht zu unterschätzen: Bei Verzicht dieser Forderung gibt es nämlich durchaus uneigentlich Riemann-integrierbare Funktionen, deren Lebesgue-Integral nicht existiert, Beispiel

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

27.06.2013, 14:22

Emsland

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Ist es eigentlich ein Schreibfehler, dass in der Funktion das x gar nicht vorkommt?

27.06.2013, 14:24

HAL 9000

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Kann ich nicht beurteilen. Zumindest macht die Frage auch dann Sinn, wenn der Funktionswert wie hier nicht explizit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt - umso einfacher ist die entsprechende Komponentenintegration. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.06.2013, 16:53

MaxderMathematiker

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Also ich habe nichts dagegen, wenn du hier mit die Aufgabe löst Emsland Augenzwinkern

Augenzwinkern

Woran sehe ich denn, ob ein Integral negativ ist? Diese besagte Funktion gibt doch für manche Eintragungen negative Werte. Gibt es da irgendein Rezept oder so?

27.06.2013, 17:07

Ungewiss

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edit von sulo: Die vor diesem Beitrag geposteten Fragen von Emsland wurden hierher verschoben: Fragen zu: Kriterien für Lebesgue-Integrierbarkeit

Bevor hier jetzt jeder hinschreibt welche Kriterien er kennt um Integrierbarkeit nachzuweisen, wäre es womöglich hilfreich, wenn du uns mitteilst, welche Mittel dir zur Verfügung stehen.

Kommen dir die Sachen, die man mit dem Satz von Fubini/ Tonelli bezeichnet, bekannt vor, oder sollst du tatsächlich auf die Definition des Integrals zurückgehen? Was habt ihr zuletzt behandelt, also in welchem Kontext bist du an diese Aufgabe geraten.

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27.06.2013, 17:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von MaxderMathematiker
Also ich habe nichts dagegen, wenn du hier mit die Aufgabe löst Emsland Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und ich begrüße es ausdrücklich, wenn Ungewiss hier übernimmt, denn ich muss gleich weg. Wink

Wink

27.06.2013, 17:58

MaxderMathematiker

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Klar melde ich mich, hatte aber leider noch mit einem anderen Fach zu tun :/

Also, mein Problem ist, dass ich wegen eines anderen Seminars in der Vorlesung gefehlt habe, in der wir mit mehrdimensionalem Integrieren angefangen haben. Vom Prinzip her ist mir die Vorgehensweise dabei allerdings klar. Ich habe von diesen ganzen Sätzen allerdings noch nichts gehört. :/

27.06.2013, 18:05

MaxderMathematiker

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Also jetzt bin ich ganz verwirrt Emsland. Könntest du vielleicht einfach mal deinen ganzen Rechenweg aufschreiben, Schritt für Schritt und den dann kommentieren? Das würde vermutlich weiterhelfen. Auch wenn es eig gegen die Gepflogenheiten des Boards ist.

27.06.2013, 18:07

sulo

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@Max
Die Beiträge von Emsland wurden ausgelagert: Fragen zu: Kriterien für Lebesgue-Integrierbarkeit

27.06.2013, 18:09

MaxderMathematiker

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das ist gut, hilft mir aber auch nicht weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.06.2013, 18:15

Ungewiss

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Das macht es ausgeprochen schwierig, dir sinnvoll zu helfen. Wir könnten jetzt annehmen, dass diese Sätze in der Vorlesung behandelt wurden, die Aufgabe damit lösen und am Ende kriegst du keine Punkte weil in rot neben der Lösung steht "das wurde noch nicht behandelt".

Du solltest also irgendwie in Erfahrung bringen, was behandelt wurde, dann kannst du das hier schreiben und man kann dir dazu passende Hinweise zu Bearbeitung geben.

Falls das jemand anders sieht, der hier helfen möchte, kann der sich gerne melden.

PS: Wie subtil du Emsland zum Posting einer Komplettlösung bringen wolltest, finde ich recht amüsant Big Laugh

Big Laugh

27.06.2013, 18:25

MaxderMathematiker

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sollte gar nicht subtil sein, wie gesagt, ich konnte halt die vorlesung nicht besuchen -.-

27.06.2013, 18:29

Emsland

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Also kurz gefasst:

HAL9000 hat Dir in der allerersten Antwort geschrieben, wie man hier die Integrierbarkeit zeigen kann (das mit den $\begin{eqnarray*} f_+, f_- \end{eqnarray*}$ ).

Äquivalent dazu ist, dass $\begin{eqnarray*} \int_A\lvert f\rvert <\infty \end{eqnarray*}$ .

Um dieses Integral auszurechnen, kannst Du Tonelli/ Fubini heranziehen, ansonsten wirds ein bisschen schwer über A zu integrieren.

Da kommt dann, wie gesagt, 2 raus, also ist f integrierbar.

Und dann kannst Du das Integral $\begin{eqnarray*} \int _A f(x,y,z)\, d(x,y,z) \end{eqnarray*}$ selbst ausrechnen, auch wieder mit Tonelli/ Fubini.

Wenn Dir Tonelli/Fubini nichts sagt, würde ich empfehlen mal in ein Analysis-Buch zu schauen, ich glaube bei Königsberger und/ oder Werner müsste das gut drinstehen.

27.06.2013, 18:37

MaxderMathematiker

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Okay, dann werde ich einfach mal nach diesen sätzen suchen

27.06.2013, 20:05

HAL 9000

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@Ungewiss

Auwei, da hat sich meine ironisch gemeinte Bemerkung oben gleich zu einer Krise ausgeweitet. Da du mich so schlecht zu kennen scheinst: Ich bin selbst oft gegen "Besitzansprüche" von Threads eingetreten, auch wenn viele (und z.T. das Boardprinzip) das anders sehen.

Zurück zum Thema:

Zitat:

Original von Emsland
HAL9000 hat Dir in der allerersten Antwort geschrieben, wie man hier die Integrierbarkeit zeigen kann (das mit den $\begin{eqnarray*} f_+, f_- \end{eqnarray*}$ ).

Eigentlich eher, wie sie definiert ist. Natürlich kann man sie auch damit zeigen.

Zitat:

Original von Emsland
Äquivalent dazu ist, dass $\begin{eqnarray*} \int_A\lvert f\rvert <\infty \end{eqnarray*}$ .

Richtig, das ist oft sinnvoller, zumal man da nur ein Integral zu betrachten hat.

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