Rotation Mantelfläche Kugelschicht Anwendung Integralrechnung

27.06.2013, 14:24

sam08

Rotation Mantelfläche Kugelschicht Anwendung Integralrechnung

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe (siehe Anhang) und tue mich dabei extrem schwer..

Wäre super, wenn jemand unterstützen könnte

Meine Ideen:
x²+y²=r²

y=sqr(r²-x²)

27.06.2013, 15:51

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Vielleicht hilft dir, dass die Mantelfläche eines Rotationskörpers wie folgt berechnet wird (nach einer Herleitung der Formel wird in der Schule eigentlich nicht gefragt):

$\begin{eqnarray*} M_x=2\pi\int_a^b \! f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Wobei a und b die Rotationsgrenzen sind. Du musst also einfach nur richtig die obere Grenze b in Abhängigkeit von anderen Variablen darstellen, dann einsetzen und integrieren.
Dann kommt man auch auf die Formel.

27.06.2013, 16:25

sam0815

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danke für die schnelle, kompetente antwort!

die formel kannte ich noch nicht..

allerdings habe ich ja dann ein relativ komplexes integral..könntest du mir einen tipp geben wie man dieses vereinfachen kann?

27.06.2013, 16:34

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Die Formel steht eigentlich im Tafelwerk.

So schwer ist das Integral nicht. Es kürzt sich fast alles raus.
Zuerst brauchst du die Ableitung der Funktion. Ich denke da gibt es keine Probleme.

$\begin{eqnarray*} M_x=2\pi \int_a^b \! \sqrt{r^2-x^2}\cdot \sqrt{1+(-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2} } )^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich würde vorschlagen:

Zuerst das Quadrat in der zweiten Wurzel auflösen und dann die doppelte Wurzel zu einer zusammenzufassen.
Was erhälst du dann?

27.06.2013, 17:13

sam0815

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ok dann steht noch

$\begin{eqnarray*} 2*\pi *\int_a^{a+h} \! \sqrt{r^{2}+\frac{r^{2}*x^{2} }{r^{2}-x^{2} }-x^{2}-\frac{x^{4} }{r^{2}-x^{2}} } \, dx \end{eqnarray*}$

ist das schon falsch, oder hab ich tomaten auf den augen verwirrt

27.06.2013, 17:35

Leopold

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Irgendwie hast du furchtbar kompliziert gerechnet. Es scheint aber zu stimmen. Der Radikand ist nämlich nichts anderes als $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ .

Ich hätte so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \sqrt{1 + \left( - \frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right)^2} = \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}} = \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist man fast schon am Ziel.

27.06.2013, 17:39

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Zitat:

Original von sam0815

$\begin{eqnarray*} 2*\pi *\int_a^{a+h} \! \sqrt{r^{2}+\frac{r^{2}*x^{2} }{r^{2}-x^{2} }-x^{2}-\frac{x^{4} }{r^{2}-x^{2}} } \, dx \end{eqnarray*}$

Nein das ist nicht falsch. Nur etwas kompliziert.

Mach weiter. Fasse die Brüche mal zusammen und klammere $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ aus.

27.06.2013, 18:05

sam0815

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danke leopold!
hört sich jetzt blöd an, aber ich wär selbst nie drauf gekommen.. Hammer

schönen abend noch! Wink

27.06.2013, 18:07

sam0815

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danke yu!!

ich hätte da zwei tage dranbleiben können irgendwann kommt man alleine nicht mehr weiter..

schönen abend noch Wink

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