Jordan-Normalform

27.06.2013, 15:15	Feete	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan-Normalform Hallo ihr Lieben, ich hab mal eine klitzekleine Frage zur Jordannormalform. Sei f der zur folgenden Matrix gegebene Endomorphismus von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1) Bestimme die Jordan-Normalform von f. Ich hab die Jordan-Normalform bestimmt und komme auch einigermaßen mit den Rechnungen klar. Die Jordan-Normalform ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun meine Frage: MUSS der Jordan-Block zum Eigenwert 2 oben links in der Jordan-Matrix stehen? Und wenn ja, woran erkenne ich, dass er oben links stehen muss? Anders gefragt: Wäre die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine äquivalente Jordan-Matrix zu der oben geschriebenen. Oder mache ich mir hier über nonsense Gedanken? Vielen Dank und liebe Grüße Feete
27.06.2013, 15:30	Stefan03	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich kann dir nur sagen, dass die beiden Matrizen, die du angegeben hast, ähnlich sind. Also die Jordan-Normalform ist bis auf Reihenfolge der Jordanblöcke eindeutig bestimmt. Genauer kann ich es dir leider nicht sagen, aber meine Aussagen sollten stimmen, weil wir das heute kurz wiederholt haben
28.06.2013, 12:29	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Feete, was genau ist deine Frage? Willst du wissen, ob B und C ähnlich zueinander sind? Ja, das sind sie. Dass B und C JNF haben, hast du ja bereits festgestellt. $\begin{eqnarray} B:=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C:=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Am besten suchst du mal eine Transformationsmatrix T, so dass $\begin{eqnarray} TBT^{-1}=C \end{eqnarray}$ .

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