Ei-Aufgabe

02.08.2004, 09:43

Mathespezialschüler

Ei-Aufgabe

Hi,
also ich habe in einem anderen Thread folgende Aufgabe von Leopold gestellt bekommen:

Zitat:

Original von Leopold
Gegeben ist im R² der Kreis k um M(a|0) vom Radius a>0.
Wähle nun einen beliebigen Punkt X auf k. Dessen senkrechte Projektion auf die Abszissenachse heiße X'. Fälle nun das Lot von X' auf die Gerade OX (O=Ursprung). Der Lotfußpunkt heiße Y.
Wenn jetzt X den Kreis durchläuft, durchläuft Y eine Kurve, die man Eikurve (Oval) nennt.

Du kannst die Konstruktion leicht mit Euklid durchführen und dir die Ortskurve von Y zeichnen lassen.

a) Der obere Teil der Eikurve ist der Graph einer Funktion f. Bestimme deren Funktionsgleichung.

b) Wenn die Eikurve um die Abszissenachse rotiert, entsteht ein Ei. Bestimme in Abhängigkeit von a dessen Volumen.

c) Wie groß sind der horizontale und vertikale Durchmesser des Eies? (Als Durchmesser bezeichnet man den größtmöglichen Abstand.)

d) Berechne den Umfang der Eikurve.

e) Berechne die Oberfläche des Eies.

a) ist eine Fleißarbeit. Man muß nur X (u|v) setzen und die Konstruktion von Y rechnerisch nachvollziehen (beachte, daß u,v nicht unabhängig voneinander sind). Wenn man sich ungeschickt anstellt, kann das allerdings eine höchst umfangreiche Arbeit werden. Bei geschickter Rechnung hält sich der Rechenaufwand in Grenzen. Vermeide Wurzeln, solange es geht.
b) ist einfach, wenn a) gelöst ist.
c) ist Teil einer Kurvendiskussion.
d) führt auf ein elementar lösbares Integral. Allerdings ist alle Integrationskunst zu seiner Berechnung aufzuwenden.
e) habe ich selbst noch nie probiert. Ich habe keine Ahnung, ob das entstehende Integral sich elementar auswerten läßt.

Da der andere Thread zu "belebt" ist, als dass ich dort meine Ergebnisse hinschreiben könnte, mach ich es hier. Wer will, kann die Aufgabe natürlich auch selbst mal lösen!

@Leopold
Ich schreib nochmal alle meinen bisherigen Ergebnisse auf, ist a)-c) erstmal richtig? :

a)

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich hatte herausgefunden, dass

$\begin{eqnarray*} r = 2a\cdot cos^3(\phi)\ \ \ |\ 0 \leq \phi \leq \pi \end{eqnarray*}$

Über Transformation in kartesiche Koordinaten bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} y^2 = x\cdot \sqrt{2ax} - x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x\cdot \sqrt{2ax} - x^2} \end{eqnarray*}$

(hab ich mich hier dMn jetz "ungeschickt angestellt"??
b)
$\begin{eqnarray*} V = \frac{16\pi}{3}a^3 \end{eqnarray*}$

c)

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
horizontal: trivialerweise $\begin{eqnarray*} d_h = 2a \end{eqnarray*}$
vertikal: $\begin{eqnarray*} d_v = \frac{3}{2}a\cdot \sqrt{6\sqrt{2}-9} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
d) hab ich noch nich gemacht. Ich fang hier mal an:
$\begin{eqnarray*} u = 2\cdot \int_{0}^{2a}~\sqrt{1+\frac{3\cdot \sqrt{2ax} - 2x}{4x(2\sqrt{2ax} - 2x})}~dx \end{eqnarray*}$

zu d) Ich hab mir jetzt überlegt, x und y zu parametrisieren durch den Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ "von" den Polarkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} x(\phi) = 2a (\cos(\phi))^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(\phi) = 2a\sin(\phi)(\cos(\phi))^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = 2\cdot \int_{0}^{\pi}~\cos(\phi)\sqrt{8a\cos(\phi)\sin(\phi) + 2a(\cos(\phi))^2 - 6a(\sin(\phi))^2}~d\phi \end{eqnarray*}$

Is bis hier alles richtig?? Das Integral müsst ich mir erst nochmal genau angucken.

02.08.2004, 11:34

Leopold

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Die Funktionsvorschrift für die Eikurve stimmt, sowohl in kartesischen Koordinaten $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ als auch in Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} r=g(\varphi) \end{eqnarray*}$ . Der Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ muß allerdings das Intervall

$\begin{eqnarray*} \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \end{eqnarray*}$

durchlaufen.

Ob deine Herleitung elegant ist oder nicht, kann ich nicht beurteilen, da du sie uns nicht mitgeteilt hast. (Aber das brauchst du auch nicht. Die Idee, das Ganze über Polarkoordinaten zu machen, finde ich nicht schlecht. Es geht aber auch ganz ohne.)

Als Volumen V bekomme ich

$\begin{eqnarray*} V \ = \ \frac{8}{15} \pi a^3 \end{eqnarray*}$

Als vertikalen Eidurchmesser habe ich

$\begin{eqnarray*} d_{vert} = 2f\left(\frac{9}{8} a\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4} a \end{eqnarray*}$

(Dein Radikand ist negativ!)

Bei d) habe ich dich (unabsichtlich!) in die Irre geführt. Die Eifläche kann man elementar berechnen. Das habe ich gemeint. Ob das mit dem Umfang L der Eifläche auch geht, habe ich meine Zweifel. Ich habe jedenfalls das folgende Integral bekommen:

$\begin{eqnarray*} L = 4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2{\varphi} \sqrt{1+8\sin^2{\varphi}}~\ d\varphi \end{eqnarray*}$

numerisch:

$\begin{eqnarray*} L=5,1624a \end{eqnarray*}$

02.08.2004, 12:27

Mathespezialschüler

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Danke für deine Antwort!
Beim Volumen hab ich mich wohl beim Berechnen von F(b)-F(a) verrechnet. Ich habs nochmal nachgerechnet, bin auf dein Ergebnis gekommen.
Bei dem Durchmesser hatte ich auch 2f(9/8), aber ich habs, wie gesagt, nur einmal durchgerechnet. War wohl ein kleiner Fehler drin. Ich rechne mal kurz nach ... , ok hab dein Ergebnis!
Ich wollte nur die obere Kurve beschreiben, hab aber nich auf das pi/2 geachtet. Das mit dem [-pi/2;pi/2] is also auch klar, allerdings hast du da wieder nen kleinen Fehler gemacht:

Zitat:

a) Der obere Teil der Eikurve ist der Graph einer Funktion f. Bestimme deren Funktionsgleichung.

Also [0;pi/2], denn dein Intervall beschreibt mMn das ganze Ei ;)

Zum Integral: Hast du da meines umgeformt oder wie kommst du auf dieses?? Wie kann man ein Integral numerisch berechnen??

Edit: Smilies ausgemacht. Ben

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