Fragen zu: Kriterien für Lebesgue-Integrierbarkeit

27.06.2013, 14:58

Emsland

Fragen zu: Kriterien für Lebesgue-Integrierbarkeit

edit von sulo: Dieser Thread besteht aus Beiträgen, die aus diesem Thread ausgeschnitten wurden: Kriterien für Lebesgue-Integrierbarkeit

Ich bin grad in einer kleinen Zwickmühle: Ich würde selbst gerne Fragen zu dieser Aufgabe stellen, weil ich sie auch lösen möchte, aber weiß nicht, ob sich das schickt, wo ich dieses Thread nicht eröffnet habe...

27.06.2013, 15:32

Emsland

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Ohne zu viel zu verraten, weil es, wie gesagt, nicht mein Thread ist:

Ergibt sich 1/4 als Integral?

27.06.2013, 16:35

Ungewiss

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Nein und sobald man die Integrierbarkeit gezeigt hat, lässt sich Fubini anwenden und der Wert des Integrals ergibt sich ohne grosse Rechnung.

27.06.2013, 17:24

Emsland

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Ich will mich hier gar nicht weiter einmischen.

Ich habe jedenfalls die Integrierbarkeit mit

$\begin{eqnarray*} \int_A \lvert f\rvert <\infty \end{eqnarray*}$ gezeigt [das ist 2]

und das Integral ist nach meiner Rechnung dann 0.

Falls dies stimmt, verdrück ich mich dann.

27.06.2013, 17:30

Ungewiss

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Falls sich der Threadersteller nochmal meldet, kann ich das gerne machen. Ich habe aber auch nichts dagegen, wenn jemand anderes schneller antwortet.

Ist zwar Off-Topic, aber diese Anmelde/Abmelde-Prozedur bei "Helfern" finde ich einigermaßen überflüssig und habe noch kein Forum gesehen, welches dies so handhabt. Das nimmt mir eher die Motivation, etwas zu schreiben, weil ich antworten will, weil ich Lust dazu habe, und nicht, weil die "Verantwortung" über einen Thread bei mir liegt.

Just my 2 cents.

Edit: @ Emsland
Ja so kann mans machen. Bei dem Integral über den Betrag kommt bei mir aber 4 raus, wobei ich mich natürlich auch gerade im Kopf verrechnet haben könnte. Dass man das ohne Rechnen rauskriegt warsi gemeint, dass man wegen Fubini die Integration y- Richtung zuerst ausführen kann und da kommt etwas sehr überschaubares raus.

Edit2 Ja, hatte mich verrechnet und 2 ist korrekt Augenzwinkern

27.06.2013, 17:36

sulo

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@Ungewiss
Ich meine, es ist eine Frage der Netiquette zu sagen, wenn man einen Thread verlässt.
Ein Thread ist ein Hilfegespräch, da sollte einer der Gesprächspartner nicht einfach verschwinden.
Und ich denke auch, dass man als Helfer schon eine Verantwortung übernimmt und den Thread nach Möglichkeit zu Ende führt.
Wenn jeder Helfer nur so postet, wie er gerade meint, wird es sehr viel weniger gut laufende Threads geben, ich würde da eher ein Chaos befürchten. Augenzwinkern

@Emsland
Du solltest dir mal das Boardprinzip hinsichtlich des Reinschreibens in laufende Threads anschauen.
Wer weitergehende Fragen zu einer Aufgabe hat, sollte warten, bis der Thread zu Ende besprochen wurde und dann erst posten.
Alternativ kann man, wenn die Fragen nur weitläufig mit der Originalaufgabe zu tun haben, einen eigenen Thread aufmachen.

27.06.2013, 17:58

Emsland

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Ich habe den Hinweis gelesen, sulo.
Aber eins muss ich doch noch schreiben.

Zitat:

Original von Ungewiss
Bei dem Integral über den Betrag kommt bei mir aber 4 raus, wobei ich mich natürlich auch gerade im Kopf verrechnet haben könnte.

Ich habe es nochmal nachgerechnet und wieder 2 heraus:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1\int_{\mathbb{R}}\lvert z\rvert\exp(-z^2)\underbrace{\int_{-1}^1\lvert y\rvert\, dy}_{=1}\, dz\, dx=\int\limits_{-1}^1\underbrace{\int_{\mathbb{R}}\lvert z\rvert\exp(-z^2)\, dz}_{=1}\, dx=\int_{-1}^1\, dx=2 \end{eqnarray*}$

(dass man so aufteilen darf ist natürlich Tonelli/ Fubini)

----

Und das Integral ergibt sich als 0.

Zitat:

Original von Ungewiss
Dass man das ohne Rechnen rauskriegt warsi gemeint, dass man wegen Fubini die Integration y- Richtung zuerst ausführen kann und da kommt etwas sehr überschaubares raus.

Das war mir klar. Nur hast Du einmal gesagt [in dem anderen Thread], man müsse gar nicht rechnen und deswegen könne ich mich auch nicht verrechnet haben.
Und ein bisschen Rechnen ist es dann doch, was man daran sieht, dass Du dich hier diesmal verrechnet hast. Augenzwinkern

Sorry, aber ich ärgere mich immer noch über die Breitseite.
(Wieso mich das so entzürnt, weiß ich gar nicht, ist wohl das Wetter.)

27.06.2013, 18:13

Emsland

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Woher weiß man eigentlich, dass man hier das Lebesguemaß $\begin{eqnarray*} \lambda^3 \end{eqnarray*}$ nehmen soll??

27.06.2013, 18:23

Ungewiss

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@ Sulo Das ist jetzt tatsächlich was chaotisch geworden.

@Emsland
Weil im Titel etwas von Lebesgue-integrierbarkeit steht Augenzwinkern

Bei Aufgaben diesen Typs kann man eigentlich immer implizit davon ausgehen, dass Integrierbarkeit bezüglich des Lebesguemaßes gemeint ist, sofern nichts anderes explizit ausgedrückt wird.

Da war ich tatsächlich etwas forsch, das sollte man im Internet nie zu persönlich nehmen smile

27.06.2013, 18:25

Emsland

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Okay, dann sind jetzt alle meine Fragen zu dieser Aufgabe beantwortet und ich zeichne verantwortlich für die entstandene Unordnung.

Wink

27.06.2013, 19:05

Emsland

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Ich hab grad mal überlegt, wie der Weg über die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_- \end{eqnarray*}$ ginge.

Ich würd sagen, dazu würd man erstmal diese beiden Funktionen aufstellen müssen:

Das wäre dann irgendwie sowas wie

$\begin{eqnarray*} f_+(x)=\begin{cases}0, &\mbox{ falls }(y\in [-1,0]\wedge z\in\mathbb{R}_{\geq 0})\vee (y\in ([0,1]\wedge z\in\mathbb{R}_{\leq 0})\\ f(x), &\mbox{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f_-(x)=\begin{cases}-f(x), &\mbox{ falls }(y\in [-1,0]\wedge z\in\mathbb{R}_{\geq 0})\vee (y\in ([0,1]\wedge z\in\mathbb{R}_{\leq 0})\\0, &\mbox{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

oder?

Da erscheint mir die Kontrolle, ob

$\begin{eqnarray*} \int_A\lvert f\rvert<\infty \end{eqnarray*}$

irgendwie einfacher bzw. übersichtlicher.

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