Element- und Gruppenordnung

27.06.2013, 19:47

Flow1410

Element- und Gruppenordnung

Meine Frage:
Es geht um den Induktions-Beweis, dass eine abelsche p-Gruppe zyklisch ist, wenn sie nur eine Untergruppe P der Ordnung p besitzt.
Über einen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \lambda(a) = a^{p} \end{eqnarray*}$ bekommt man $\begin{eqnarray*} p^{n-1} \end{eqnarray*}$ als Ordnung von $\begin{eqnarray*} \lambda (G) \end{eqnarray*}$ . Weil P auch die einzige Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \lambda (G) \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} \lambda (G) \end{eqnarray*}$ nach Induktionsvoraussetzung zyklisch, mit erzeugendem Element z.B. $\begin{eqnarray*} \lambda(a). \end{eqnarray*}$

Speziell interessiert mich die finale Schlussfolgerung, die laut meinem Skript selbsterklärend ist. Ich verstehe sie nicht:

$\begin{eqnarray*} o(\lambda (a))=o(a^{p} )=p^{n-1} \Rightarrow o(a)=p^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Müsste es nicht eher sowas sein wie o(a) teilt $\begin{eqnarray*} p^{n} \end{eqnarray*}$ ?

Wahrscheinlich ist die Erklärung einfach, aber ich kanns mir nicht so einfach klarmachen.

Danke für Hilfe!

27.06.2013, 22:00

watcher

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} o(a)|p^n \end{eqnarray*}$ folgt bereits mit Lagrange, $\begin{eqnarray*} o(a^p)=p^{n-1} \end{eqnarray*}$ liefert da doch Zusatzinformationen.

Nutze die Charakterisierung:

$\begin{eqnarray*} o(a)=k \Leftrightarrow a^k=1 \text{ und } \forall l|k : a^l \neq 1 \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} k \neq 1 \end{eqnarray*}$ )

28.06.2013, 00:41

flow1410

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Es ist zwar schon spät, aber auch auf die Gefahr hin, dass ich das morgen als Blödsinn abtun muss, schreibe ich noch was dazu:

Erstmal danke für die Antwort.

Wenn ich deine Charakterisierung nehme, dann geht es auf. Warum reicht es denn, nur alle Teiler von k zu prüfen, anstatt alle l<k ? Weil die Elementordnung die Gruppenordnung teilen muss? Ist die Erklärung schon profan genug, um sie im Skript nicht zu erwähnen?

Mir wäre noch eine Idee gekommen, etwa so:
Das Erzeugnis von a^p ist Untergruppe vom Erzeugnis von a. Die entsprechende Faktorgruppe hat Ordnung p (was mir wiederum nur rein intuitiv klar ist?!), damit hätte das Erzeugnis von a dann Ordnung p^n.

Dennoch glaube ich, dass die Implikation irgendwas total Triviales hätte sein sollen.
Gilt z.B. o(a^k)=s => o(a)=k*s immer? Ohne besondere Voraussetzungen?

Ich denke, eigentlich ist es mir jetzt klar, ich frage mich trotzdem, warum das ohne weitere Erklärung so einleuchtend sein soll?

28.06.2013, 08:57

watcher

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Zitat:

Weil die Elementordnung die Gruppenordnung teilen muss? Ist die Erklärung schon profan genug, um sie im Skript nicht zu erwähnen?

Ja und ja. Wobei letzteres immer eine gewisse Abwägungsentscheidung ist. Vielleicht wurde es ja auch mündlich erwähnt oder in den Übungen /Hausaufgaben.

Zitat:

Gilt z.B. o(a^k)=s => o(a)=k*s immer? Ohne besondere Voraussetzungen?

Nein. Es gilt $\begin{eqnarray*} o(a^k)=\frac{o(a)}{ggT(o(a),k)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die entsprechende Faktorgruppe hat Ordnung p (was mir wiederum nur rein intuitiv klar ist?!), damit hätte das Erzeugnis von a dann Ordnung p^n.

Das scheint mir nur eine anschauliche Erklärung für obigen Beweis zu tun.

Zitat:

Ich denke, eigentlich ist es mir jetzt klar, ich frage mich trotzdem, warum das ohne weitere Erklärung so einleuchtend sein soll?

Es gibt sehr viele Dinge die beim ersten Durchlesen nicht einleuchtend sind. Es aber nach einiger Zeit/einigem Nachdenken werden sollten (für manchen die Def. von trivial).
Wenn man alles so ausführlich schreibt, dass sowas nie vorkommt wird jedes Lehrbuch zum massiven Türstopper.

28.06.2013, 10:11

flow1410

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Es ist mit Sicherheit Ansichtssache des Autors, wo noch eine Erklärung hinzu soll und wo nicht. Ich denke mir an manchen Stellen, das hätten sie sich jetzt sparen können, während hier, finde ich, hätte ein weiteres Wort schon geholfen (z.B. mit Verweis auf ggT(o(a),k)).

Vielen Dank für Deine Zeit!

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