Mittelpunktsregel - Was sind Gewichte?

27.06.2013, 20:27

Theend9219

Mittelpunktsregel - Was sind Gewichte?

Wie schon im Titel steht, geht es um die Mittelpunktsregel

Wir ersetzen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ durch den Funktionswert im Mittelpunkt des Intervalls und erhalten

$\begin{eqnarray*} I_{n} (f) = (b-a)f(\frac{a+b}{2}) \end{eqnarray*}$
mit dem Gewicht $\begin{eqnarray*} w_{0} = 1 \end{eqnarray*}$ und der Stützstelle $\begin{eqnarray*} x_{0} = \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet dieses $\begin{eqnarray*} w_{0} \end{eqnarray*}$ ?

27.06.2013, 20:38

Dopap

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ein Gewicht ist das. Im Moment noch ohne Bedeutung bei dieser Tangenten-integration.

Man könnte aber auch mit den Sekanten "integrieren". Hat man mehrere Intervalle am Stück, dann sind die Funktionswerte nicht gleich häufig ---> Gewichtung.

oder schau dir mal ein Doppelintervall an, das per quadratischem Interpolationspolynom integriert wird ( Kepler ) dann erscheint der mittlere Funktionswert mit dem Faktor 4 = Gewicht.

27.06.2013, 21:00

Theend9219

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Leider habe ich das immer noch nicht so wirklich verstanden ... Zum Beispiel treten die bei Newton-Cortes wieder auf...

LG

EDIT: Was sind DoppelinteRVALLE?

27.06.2013, 21:39

Dopap

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wenn wir 2 gleichbreite Intervalle nebeneinander haben, und die mittels Sehnentrapezregel integrieren,
dann wird der mittlere Funktionswert für beide Intervalle gebraucht:

$\begin{eqnarray*} A_1=h(\frac {f(a)+f(a+h)}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2=h(\frac {f(a+h)+f(a+2h)}{2}) \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} A_1+A_2= \frac h 2 (f(a)+{\color{red}2}f(a+h)+f(a+2h) ) \end{eqnarray*}$

und schon haben wir ein Gewicht.

27.06.2013, 21:47

Theend9219

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Besser hättest du es mir nicht erklären können!!!

Danke !

27.06.2013, 21:57

Theend9219

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Und noch eine Frage: Weil wir einmal bei der Numerik sind hihi

bei Newton-Cotes muss ich mir das so vorstellen, dass das Integral berechnet wird, indem man äquidistante Stützstellen ermittelt (also hier weiß ich nicht ob die wirklich äquidistant sein sollen oder nur näherungsweise äquid.) in einem Intervall und das zu interpolieren?
Ist der Gedanke richtig? Dann gibt es eine Unterscheidung von abgeschlossenen Newton Cotes Formeln und offene wobei (a,b sind Stützstellen) und (a,b sind keine Stützstellen sind).
Wie muss ich mir das nun wieder vorstellen?

LG

27.06.2013, 22:03

Theend9219

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Und die Wahl der Stützstellen kann doch nicht immer äquidistant sein, wenn sie symetrisch zu $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ sein soll?

27.06.2013, 22:14

Dopap

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Zitat:

Original von Theend9219
Und die Wahl der Stützstellen kann doch nicht immer äquidistant sein, wenn sie symetrisch zu $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ sein soll?

doch, zur Mitte kann man immer äquidistante Stützstellen finden verwirrt

Schon mal einen halben Kuchen jeweils gesechstelt?

näheres hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Cotes-Formeln

ist schon sehr lange her... noch irgendwelche Meinungen?

27.06.2013, 22:19

Theend9219

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Dankeschön ...ich hatte halt nicht vorrausgesetzt das diese Funktion so symmetrisch sein muss bezüglich $\begin{eqnarray*} f(\frac{a+b}{2}) \end{eqnarray*}$ . Aber ich glaube das ist genau das, was Newton Cotes ausmacht..

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